Элементарные преобразования матриц.

Определение 1.Элементарными преобразованиями матриц будем называть следующие преобразования:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на одно и то же число, отличное от нуля.

Обозначение для строк: , . Для столбцов: , .

2) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

Обозначение для строк: . Для столбцов: .

3) перемена местами двух строк (столбцов).

Обозначение для строк: . Для столбцов: .

Если матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований, то будем записывать это так: .

 

Лемма 1. Элементарные преобразования третьего типа равносильны нескольким последовательно выполненным преобразованиям первых двух типов.

Доказательство. Пусть матрица получилась из матрицы в результате перемены местами - ой и - ой строки, т.е. . Покажем, что матрица может быть получена из матрицы в результате элементарных преобразований только первых двух типов.

 

. Таким образом, получили матрицу , что и требовалось доказать. Совершенно аналогично это утверждение доказывается для столбцов.

 

Лемма 2.Элементарные преобразования матриц обратимы, т.е. если , то и .

 

 

Доказательство. Если матрица получилась из матрицы в результате умножения всех элементов - ой строки на число ,т.е. то и матрица получается из матрицы в результате умножения всех элементов - ой строки на число , т.е. .

Если матрица получилась из матрицы в результате прибавления к элементам - ой строки матрицы соответствующих элементов - ой строки, умноженных на число ,т.е. то и матрица получается из матрицы в результате прибавления к элементам - ой строки матрицы соответствующих элементов - ой строки, умноженных на число , т.е. .

Если матрица получилась из матрицы в результате перемены местами - ой и - ой строки, т.е. , то матрица также получается из матрицы результате перемены местами - ой и - ой строки, т.е. , и лемма 2 доказана. Совершенно аналогично это утверждение доказывается для столбцов.

 

Лемма 3.Если , то .

Доказательствопроведём лишь для элементарных преобразований над строками, т.к. при транспонировании ранг матрицы не меняется. Пусть . Мы хотим доказать, что . По следствию к лемме 2 §10 это будет доказано, если мы докажем, что все миноры ( )-го порядка матрицы равны 0. В силу леммы 1 это достаточно доказать лишь для случая, когда матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований 1-го и 2-го типа.

1)Пусть матрица получилась из матрицы в результате умножения всех элементов - ой строки на число

и пусть - минор ( )-го порядка матрицы . Могут представиться следующие случаи:

а) - ая строка не входит в состав минора . Тогда как минор ( )-го порядка матрицы .

б) - ая строка входит в состав минора . Тогда , где - минор ( )-го порядка матрицы , стоящий в строках и столбцах с теми же номерами, что и . Здесь мы воспользовались свойством 5 определителей. Следовательно, как минор ( )-го порядка матрицы , т.к. . Отсюда получаем: .

2) Пусть матрица получилась из матрицы в результате прибавления к элементам - ой строки соответствующих элементов - ой строки, умноженных на число , и пусть - минор ( )-го порядка матрицы . Могут представиться следующие случаи:

а) - ая строка не входит в состав минора . Тогда как минор ( )-го порядка матрицы .

б) и - ая, и - ая строки входят в состав минора . Тогда:

,

т.к. - минор ( )-го порядка матрицы . Здесь мы воспользовались свойством 7 определителей.

в) - ая строка входит, а - ая строка не входит в состав минора . Тогда:

Здесь мы воспользовались свойствами 6 и 5 определителей.

- минор ( )-го порядка матрицы . Определитель в общем случае не является минором ( )-го порядка матрицы , т.к. выделенная строка может оказаться не на «своём» месте. Определитель отличается от некоторого минора ( )-го порядка матрицы только порядком строк, и потому .

Лемма 3 доказана.

 

Проиллюстрируем на примере рассуждение пункта в) доказанной леммы 3.

Пример. Пусть матрица получилась из матрицы в результате прибавления к элементам 1-ой строки соответствующих элементов 3-ей строки, умноженных на число 2:

.

Рассмотрим - минор 2-го порядка матрицы , стоящий в первых 2-х столбцах и в строках с номерами 1 и3

 

Определитель не является минором матрицы , т.к. строки стоят в другом порядке, но определитель , отличающийся от предыдущего только порядком строк, является минором 2-го порядка матрицы и потому равен 0, т.к. .

Теорема 1. В результате элементарных преобразований ранг матрицы не меняется, т.е. если , то

.

Доказательство.Пусть . Тогда по лемме3 . Элементарные преобразования обратимы (по лемме 2). Следовательно, в этом случае матрица может быть получена из матрицы в результате элементарных преобразований, и по лемме 3 получаем: . Таким образом, , и теорема доказана.

Теорема 2.Любая матрица с помощью элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановки столбцов, может быть преобразована в трапециевидную.

 

Доказательство.Если матрица нулевая,то она трапециевидная по определению, и доказывать нечего.

Если она ненулевая, то она содержит ненулевой элемент, который с помощью перестановки строк и столбцов можно переместить в левый верхний угол. Поэтому будем считать, что . Пусть матрица имеет следующий вид:

.

Совершим следующие элементарные преобразования над строками:

.

Если матрица , то уже получили трапециевидную матрицу.

В противном случае с помощью перестановки последних строк и последних столбцов добьёмся того, чтобы элемент, стоящий во 2-ом столбце и во 2-ой строке был бы отличен от нуля. Поэтому будем считать, что .

Теперь совершим следующие элементарные преобразования над строками:

 

 

.

Если , то получили трапециевидную матрицу.

В противном случае продолжим этот процесс до тех пор, пока в нескольких последних строках все элементы не будут равны 0, т.е. , или пока не исчерпаем все строки. В результате получим трапециевидную матрицу.

Следствие. Любая матрица строения ранга с помощью элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановки столбцов, может быть преобразована в матрицу вида:

.

Если , то последние нулевые строки отсутствуют. Если , то эта матрица имеет вид: .

Доказательство. Из доказанной теоремы следует, что матрица с помощью указанных преобразований может быть преобразована в матрицу

, причём для всех .

Совершим следующие элементарные преобразования над строками:

 

.

 

Теперь с помощью -ой строки получим в -ом столбце в строках с номерами нули. Для этого от

-ой строки отнимем -ю, умноженную на ( ).В результате получим матрицу:

 

. Теперь действуя аналогично -ой строкой получим нули в -ом столбце в строках с номерами и т.д.

Замечание. Можно доказать, что если базисный минор матрицы стоит в первых столбцах, то можно получить матрицы указанного вида совершая элементарные преобразования только над строками.

Покажем это на примере.

Пример.

. Матрица имеет такое же строение, как и матрица, рассмотренная в следствии. Здесь единичная матрица имеет порядок 3, т.к. , роль матрицы выполняет матрица, стоящая в последних двух столбцах и первых трёх строках матрицы .