Cредняя квадратическая погрешность (СКП). Формулы Гаусса и Бесселя. Порядок матобработки ряда равноточных измерений. Предельная абсолютная и относительная погрешности.

Наилучшим критерием оценки точности измерений принято считать среднюю квадратическую погрешность (СКП) измерения, определяемую по формуле Гаусса:

где Δi=li-X (Х - истинное значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

Так как, в большинстве случаях истинное значение неизвестно, то СКП определяют по формуле Бесселя:

где ϑi=li-х (х - средняя арифметическое значение или вероятнейшее значение измеряемой величины, а li - результат измерения).

СКП арифметической середины:

Эта формула показывает, что СКП арифметической середины в √n раз меньше СКП отдельного измерения.

На практике различают предельные и относительные погрешности. Теорией доказывается, а практикой подтверждается, что абсолютное большинство случайных погрешностей находится в интервале от 0 до m - 68% , от 0 до 2m - 95% , от 0 до 3m - 99.7%.

На практике за предельную погрешность принимают 2m, т.е. с вероятностью 95% можно утверждать, что случайные погрешности не превысят величины равной 2m. Если n<10 то ϑi(пред)=tB . M, где tB - коэффициент Стьюдента (таблица)

Таблица коэффициентов Стьюдента

Рассмотрим на примере как выполняется математическая обработка результатов ряда равноточных измерений. Пусть длина линии измерена шесть раз (см. таблицу). Необходимо найти вероятнейшее значение измеренной величины и оценить результаты измерений.

l'=75.10 м,

x =75.10+0.37/6=75.16 м,

m =√91 / 5=4.2 см,

М = 4.2 / √6=1.7 см,

ϑi(пред)=tB . M = 2.52 . 1.7 = 4.4 см,

L = 75.16 + 0.04 м (P=95%),

Отн.погр.ΔL/L=4.4/7510=1/1700

Матобработка ряда измерений одной и той же величины выполняется в следующей последовательности:

- определение вероятнейшего значения измеренной величины x=Σli/n;

- оценка точности отдельного измерения

- оценка точности арифметической середины (вероятнейшего значения)

- определение окончательного результата L = x ± tBM.

51А. Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин.

Пусть известна функция общего вида

z = f (x,y,...,t),

где x,y,...,t - независимые измеренные величины, полученные с известными средними квадратическими погрешностями (СКП).

Тогда СКП функции независимых аргументов равна z корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных функций по каждому из аргументов на СКП соответствующих аргументов, т.е.

(*)

Если функция имеет вид

z = x + y + ...+ t,

то

Для функции

z = k1x + k2y + ...+knt,

где k1,k2,kn - постоянные величины,

9Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

27Виды измерений
По характеру зависимости измеряемой величины от времени измерения разделяются на:
статические, при которых измеряемая величина остается постоянной во времени;
динамические, в процессе которых измеряемая величина изменяется и является непостоянной во времени.
Статическими измерениями являются, например, измерения размеров тела, постоянного давления, электрических величин в цепях с установившемся режимом, динамическими - измерения пульсирующих давлений, вибраций, электрических величин в условиях протекания переходного процесса.
По способу получения результатов измерений их разделяют на:
прямые;
косвенные;
совокупные;
совместные.
Прямые - это измерения, при которых искомое значение физической величины находят непосредственно из опытных данных. Прямые измерения можно выразить формулой , где - искомое значение измеряемой величины, а - значение, непосредственно получаемое из опытных данных.
При прямых измерениях экспериментальным операциям подвергают измеряемую величину, которую сравнивают с мерой непосредственно или же с помощью измерительных приборов, градуированных в требуемых единицах. Примерами прямых служат измерения длины тела линейкой, массы при помощи весов и др.
Косвенные - это измерения, при которых искомую величину определяют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям, т.е. измеряют не собственно определяемую величину, а другие, функционально с ней связанные. Значение измеряемой величины находят путем вычисления по формуле , где - функциональная зависимость, которая заранее известна, - значения величин, измеренных прямым способом.
Примеры косвенных измерений: определение объема тела по прямым измерениям его геометрических размеров, нахождение удельного электрического сопротивления проводника по его сопротивлению, длине и площади поперечного сечения.
Косвенные измерения широко распространены в тех случаях, когда искомую величину невозможно или слишком сложно измерить непосредственно или когда прямое измерение дает менее точный результат. Роль их особенно велика при измерении величин, недоступных непосредственному экспериментальному сравнению, например размеров астрономического или внутриатомного порядка.
Совокупные - это производимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомую величину определяют решением системы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Примером совокупных измерений является определение массы отдельных гирь набора (калибровка по известной массе одной из них и по результатам прямых сравнений масс различных сочетаний гирь).
Совместные - это производимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимостей между ними.
В качестве примера можно назвать измерение электрического сопротивления при 200С и температурных коэффициентов измерительного резистора по данным прямых измерений его сопротивления при различных температурах.

• ⇐ Назад
• 1
• 2
• 3
• 45