Дисконтирование денежных потоков

Методические указания. Оценивая целесообразность вложений в то или иной финансовый инструмент / финансовую операцию, исходят из предположения, что:

- вложение будет более прибыльным, чем безрисковые вложения;

- будущие поступления (прибыль, проценты, дивиденды) оцениваются с позиции текущего момента;

- происходит обесценение денег на уровне инфляции.

Базовая формула для расчета текущей стоимости (20), выводится из формулы (10):

(20)

Множитель называется дисконтирующим(приложение 3).

Ставка дисконтирования. Ставка дисконтирования (r) зависит от ряда факторов. Нельзя допускать произвольного выбора ставки дисконтирования от самого низкого процента по государственным ценным бумагам (гарантированная доходность) до необоснованно высоких процентов, учитывающих всевозможные интересы и риски инвесторов.

Для определения ставки дисконтирования могут быть формула Фишера:

, (21)

где - реальная или безрисковая ставка (на уровне доходности государственной облигации, срок которой равен сроку реализации инвестиционного проекта, рисунок 2..)

- уровень инфляции;

R – номинальная процентная ставка (с учетом инфляции).

Рис. 2. Кривая бескупонной доходности (безрисковая) ОФЗ (%) [1]

Преимуществом данного метода является учет фактора инфляции. В случае необходимости расчета реальной (безрисковой ставки, ставка очищенная от инфляции), применяется следующая формула:

(22)

Пример. У инвестора на депозитном счете находится сумма 5600 тыс. руб. под 12% годовых (начисление 1 раз в год). Ему предлагают участвовать в инновационном проекте всем указанным капиталом и через 4 года его сумма увеличится в 2 раза (риск участия в данном инновационном проекте 25% годовых). Стоит ли инвестору принимать предложение об участии в инновационном проекте?

Решение. Определим величину дохода инвестора через 4 года на депозитном счете, используя формулу (10):

руб.

В случае участия в инновационном проекте, по условиям задачи сказано, что первичный капитал увеличится в 5 раз, т.е.:

руб.

Однако указанный расчет не учитывает величину риска реализации проекта. Для оценки будущего дохода с учетом риска и приведение в текущую оценку используем формулу (20):

руб.

С учетом дисконтирования участие в инновационном проекте при уровне риска 25% для инвестора невыгодно, т.к. текущая стоимость дохода по инновационному проекту меньше дохода по депозиту: 4 590 000 руб.< 5600 000 руб.

Методические указания. Финансовые расчеты предполагают оценку денежных потоков (CF - cash flow), генерируемых в течение периода финансовой операции.

На каждом шаге реализации инвестиционного проекта значение денежного потока характеризуется:

1) притоком (ICF- in cash flow), равным размеру денежных поступлений на этом шаге;

2) оттоком (OCF- out cash flow).

Генерируемые в рамках одного временного периода денежные потоки имеют место либо в начале периода - поток пренумерандо (а, рис.3), либо в его конце - поток постнумерандо (б, рис.3).

Рис. 3 Денежные потоки пренумерандо и постнумерандо

Соответственно, расчет будущая стоимость исходного денежного потока пренумерандо будут определятся по формула (23) (в теории финансового менеджмента данный тип расчета потока пренумерандо получил название прямой задачи пренумерандо):

(23)

Приведенная стоимость денежного потока пренумерандо рассчитывается по формуле (24), (в теории финансового менеджмента данный тип расчета потока пренумерандо получил название обратной задачи пренумерандо):

(24)

Расчет будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо будут определятся по формула (25) (в теории финансового менеджмента данный тип расчета потока постнумерандо получил название прямой задачи постнумерандо):

(25)

Приведенная стоимость денежного потока постнумерандо рассчитывается по формуле (26), (в теории финансового менеджмента данный тип расчета потока постнумерандо получил название обратной задачи постнумерандо):

(26)

Пример. Определите наращенную стоимость денежного потока за 4 года (FV). Поток пренумерандо и постнумерандо: 19; 14; 9; 54; 32 тыс. руб., если ставка доходности 10%.

Решение. Для решения поставленной задачи используем формулу (23) для потока пренумерандо и (25) – для постнумерандо, результаты представим в таблице.

Таблица 2

Период времени, год
пренумерандо
		15,4	10,89	71,87	46,72
163,88
постнумерандо
		20,9	16,94	11,97	78,84
128,65

Пример. Определите приведенную стоимость денежного потока за 4 года (PV). Поток пренумерандо и постнумерандо: 19; 14; 9; 54; 32 тыс. руб., если ставка дисконтирования 10%.

Решение. Для решения поставленной задачи используем формулу (24) для потока пренумерандо и (26) – для постнумерандо, результаты представим в таблице 3.

Таблица 3

Период времени, год
пренумерандо
		0,9091	0,8264	0,7513	0,6849
		12,73	7,44	40,57	21,92
101,66
постнумерандо
		0,9091	0,8264	0,7513	0,6849
		17,27	11,57	6,76	36,98
78,58

Методические указания. Аннуитет (син. – финансовая рента, рента) представляет частный случай денежного потока. Существуют два подхода к определению аннуитета:

1) однонаправленный денежный поток, элементы которого формируются через равные периоды времени;

2) элементы денежного потока одинаковые по величине.

Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным, в противном случае, - бессрочным.

Выделяют два типа аннуитетных денежных потоков:

а) пренумерандо;

б) постнумерандо.

Величина постоянного временного интервала между двумя последовательными денежными поступлениями называется периодом аннуитета (периодом ренты).

Аннуитет постнумерандо рассчитывается по формуле (27):

, (27)

где - мультиплицирующий множитель для аннуитета или коэффициент наращения ренты (аннуитета;

A – член ренты.

Указанный подход оценки будущей стоимости аннуитета постнумерандо называется прямой задачей.

Обратная задача аннуитета постнумерандо производит оценку денежных поступлений с позиции текущего момента (28):

(28)

Пример. Предлагается сдавать в аренду земельный участок на 4 года. Выберите один из вариантов оплаты:

а) в конце каждого года собственник получает 12 тыс. руб.;

б) в конце 4 летнего периода 65 тыс. руб. Какой вариант более предпочтителен, если средняя доходность на рынке 16%?

Решение.

Определим величину аннуитета постнумерандо (27):

тыс. руб.

Таким образом, расчет показывает, что более выгодным является второй вариант, т.к. общая сумма к уплате через четыре года составляет 65 тыс. руб.

Решим указанную задачу обратным способом.

По варианту оплату а) будущая оценка денежных поступлений с позиции текущего времени составит по формуле (28):

тыс. руб.

Тогда будущая оценка поступления по варианту б) с позиции текущего времени составит по формуле (20):

тыс. руб.

Таким образом, расчет показывает, что более выгодным является также второй вариант, т.к. будущая оценка поступления по варианту б) превосходит оценку по варианту а): 35,9 тыс. руб.>33 тыс. руб.

Методические указания. Соответствующие формулы можно вывести и для аннуитетного платежа пренумерандо.

Будущая стоимость аннуитета пренумерандо рассчитывается по формуле (29):

. (29)

Приведенная стоимость аннуитета пренумерандо по формуле (30):

. (30)

Пример. Ежегодно кредитор в начале каждого года уплачивает аннуитетный платеж в сумме 105 тыс. руб. на депозитный счет. Банк предлагает депозит на уровне 13% годовых. Какая сумма будет на депозите через 5 лет?

Решение. В указанной задаче определен аннуитет пренумерандо. Будущая стоимость аннуитета по депозиту определим по формуле (29):

тыс. руб.

Пример. Инвестору предлагается сдавать в аренду нежилое помещение на срок 2 года. Выберите один из вариантов оплаты:

а) в начале каждого года собственник получает 140 тыс. руб.;

б) в начале 2 летнего периода 270 тыс. руб. Какой вариант более предпочтителен, если средняя доходность на рынке 16%?

Решение. В указанной задаче представлен аннуитет пренумерандо. Определим приведенную стоимость аннуитета пренумерандо по варианту а) по формуле (30):

тыс. руб.

Таким образом, расчет показывает, что более выгодным является также второй вариант, т.к. приведенная оценка поступления по варианту б) превосходит оценку по варианту а): 270 тыс. руб.>260,7 тыс. руб.

Методические указания. Аннуитетназывается бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (n→∞). В западной практике к таким аннуитетам относят платежи продолжительностью более 50 лет:

- для потока постнумерандо по формуле (31):

(31)

- для потока пренумерандо по формуле (32):

(32)

Пример. Определите приведенную стоимость аннуитета с ежегодным поступлением 12 тыс. руб., если ставка рефинансирования 8,25%.

Решение. Для потока постнумерандо величина текущей стоимости определяется по формуле (31):

тыс. руб.

Для потока пренумерандо величина текущей стоимости определяется по формуле (32):

тыс. руб.

Методические указания. Без учета инфляции конечные результаты финансовых вычислений и расчетов денежных потоков являются необъективными. Рассмотрим методы учета инфляционных процессов при оценке денежных потоков.

Пусть реальная стоимость суммы FV, обесцененной во времени за счет инфляции, определена как S:

, (33)

где - индекс цен.

Индекс цен может быть рассчитан по формуле Пааше:

, (34)

где , - цена i-товара в исследуемом и базисном периодах соответственно;

- количество проданных товаров в исследуемом периоде;

M – общее количество исследуемых товаров.

Темпом прироста инфляции (Δ) называется относительный прирост цен за период:

. (35)

Индекс цен за несколько периодов N, следующих друг за другом, вычисляется по формуле:

, (36)

где i – номер периода.

Если ожидаемый темп инфляции величина постоянная в течение периода N, то индекс цен определяется по формуле:

. (37)

Средние за период индекс цен :

. (38)

Средний темп инфляции:

. (39)

Для простых процентов обесцененная инфляцией сумма определяется выражением:

. (40)

Эрозией капитала называется обесценение денег во времени за счет инфляции.

Ставка , при которой наращение равно потерям из-за инфляции и которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, определяется из равенства S=PV:

. (41)

Для сложных процентов обесцененная инфляцией сумма определяется выражением:

. (42)

Пример. Месячный темп инфляции составляет: а) =7%; б) =8%; =4%; =5%. Для случаев а) и б) найти индекс цен и темп инфляции за 12 месяцев и 3 месяца соответственно, а также определить обесцененную наращенную сумму, если на сумму 100 000 руб. в течение указанных сроков начислялась простая процентная ставка 23% годовых. Определите ставку, при которой наращение равно потерям из-за инфляции.

Решение.

а) ;

или 125%;

руб.;

или 125%;

б) ;

или 18%;

руб.;

или 72%.

В варианте а) произошла эрозия капитала (снижение на 45 333,34 руб.), а для его увеличения процентная ставка должна превышать 125%.

В варианте б) также произошла эрозия капитала (снижение на 10381,36 руб.), а для его увеличения процентная ставка должна превышать 72%.

Методические указания. На практике приходится находить реальную ставку процента в условиях инфляции ( ) по заданному значению объявленной (брутто-ставки) – r.

Если

, (43)

тогда при начислении простых процентов годовая реальная ставка будет равна:

, (44)

учитывая, что , получим:

. (45)

При начислении сложных процентов:

. (46)

Пример. На годовой вклад помещены денежные средства по ставке 14% годовых. Инфляция составляет 13% в год. Найти реальную ставку процентов для случаев простых и сложных процентов.

Решение.

Инфляция 13% или прирост инфляции составляет 0,13.

Тогда простая реальная процентная ставка:

или 0,72%.

Сложная реальная процентная ставка:

или 0,885%.

Методические указания. Следствием инфляции является падение покупательской способности денег, которое за период n характеризуется индексомпокупательской способности ( ), который равен обратной величине индекса цен (инфляции):

. (47)

Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии.

Скорректированная таким образом ставка называетсябрутто-ставкой(r):

- которую определим из формулы (43) для простых процентов:

, (48)

- которую определим из формулы (46) для сложных процентов (так называемая формула Фишера):

, (49)

где ( ) – инфляционная премия.

Формула Фишера применяется для расчета брутто-ставки при постоянном темпе роста инфляции.

Выразим величину брутто-ставки r через доходность операции a, тогда для:

- простых процентов: ,

откуда: , . (50, 51)

- сложные проценты: ,

откуда: , . (52, 53)

Пример. Найти реальную процентную ставку (доходность) при брутто-ставках 92%; 65%; 34% годовых и месячных темпах прироста инфляции =10%, =4%, =7%.

Решение. Найдем индекс цен за три месяца по формуле (37):

.

Определим период:

года.

Тогда доходность определяется (для простых процентов) по формуле (51):

или 1,95%. Произошло увеличение капитала на 1,95%.

, или -18,66%. Произошла эрозия капитала на 18,66%.

, или 38,27%. Произошла эрозия капитала на 38,27%.

Пример. Найти сложную процентную брутто-ставку при доходности 19% годовых и годовых темпах прироста инфляции за 4 года для двух случаях:

а) =35%, =45%, =14%, ;

б) .

Решение.

а) находим средний темп инфляции за 4 года :

.

По формуле (52) определим брутто-ставку:

, или 52,22%;

б) по формуле (49) определим брутто-ставку для постоянного годового темпа роста инфляции:

, или 63,03%.

Приложение 1

Мультиплицирующий множитель

Приложение 2

Порядковый номер дня в году (обычный год)

Например, необходимо вычислить период финансовой операции с 15.04.2011 по 22.11.2011:

15 апреля – 105 день в году, 22 ноября – 326 день, следовательно, точное число дней финансовой операции составит 221 день.

Приложение 3

Дисконтирующий множитель

• ⇐ Назад
• 1
• 2
• 345
• Далее ⇒