Разделим почленно уравнение (1) на (2), получаем уравнение

(3)

По определению

FK=qE. (4)

Напряженность бесконечной плоскости

(5)

Подставим (5) в (4)

(6)

Подставляя (6) в (3), получаем

Вычисления:

Ответ: угол, который образует нить с плоскостью, равен .

Задача 6

С какой силой Fl на единицу длины отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 3 мкКл/м, находящиеся на расстоянии r1=2 см друг от друга? Какую работу на единицу длины надо совершить, чтобы сдвинуть эти нити до расстояния r2=1 см.?

Дано: Решение: Напряженность поля, образованного заряженной бесконечно длинной нитью равна (1) а) Сила, действующая  
Fl – ?, Аl – ? на элементарный заряд dq, равна

dF=E×dq (2)

Линейная плотность заряда равна

(3)

где dl – длина физически бесконечно малого отрезка нити,

dq – заряд, сосредоточенный на этом отрезке.

       
   

 


dl

dq dF x

 

r1

Силу взаимодействия двух нитей можно найти по формуле с использованием формул (1), (2), (3)

где l – длина нити.

Отношение будет равно силе, с которой отталкиваются две нити на единицу длины

(1¢)

Вычисления:

б) Сила, действующая на отрезок нити равный dl равна

(4)

где х – расстояние между нитями.

Совершаемая при этом работа равна

dAl=Fldx. (5)

Интегрируем выражение (5)

(6)

Подставляя в (6) формулу (1¢) при этом заменяя в (1¢) постоянный параметр r1 на изменяющийся параметр х, получаем

Вычисления:

Ответ: две одноименные заряженные бесконечно длинные нити отталкиваются с силой Fl=8,1 Н/м, приходящейся на единицу их длины; чтобы сдвинуть эти две нити на 1 см, надо совершить работу Al=0,112 Дж/м, приходящуюся на единицу их длины.

Задача 7

В плоском горизонтально расположенном конденсаторе заряженная капелька ртути находится в равновесии при напряженности электрического поля Е=60кВ/м. Заряд капли q= . Найти радиус R капли.

Дано: Решение: На шарик (каплю) действуют две силы: сила тяжести и сила электростатического взаимодействия. При равновесии капли сумма проекций сил на вертикальное и горизонтальное направления равна нулю.
R – ? (1)
- + у  

Найдем проекции векторов сил на ось Оу

Оу: mg–Fэл=0 Þ mg=Fэл (2)

По определению

В области между плоскостями складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна

По определению

(3)

Подставим формулу (3) в (2), получаем

Вычисления:

Ответ: радиус капли должен быть

Задача 8

Кольцо из проволоки радиусом R=10 см имеет отрицательный заряд q=–5 нКл. 1) Найти напряженность Е электрического поля на оси кольца в точках, расположенных на расстояниях L равных 0, 5, 8, 10 и 15см. Начертить график Е=f(L). 2) На каком расстоянии L от центра кольца напряженность электрического поля будет иметь максимальное значение?

Дано: Решение: 1) Возьмем элемент кольца dl. Этот элемент несет заряд dQ. Напряженность электрического поля в т. А, созданная этим элементом Она направлена по линии х, соединяющей элемент кольца dl с точкой А. Очевидно, для нахождения напряженности от всего кольца надо геометрически сложить dE от всех элементов. Вектор можно разложить на две составля-
ющие и . Составляющие от каждых двух диаметрально противоположных элементов взаимно уничтожатся, и тогда

Составляющая

что дает

dq dl x R a L  

но и окончательно

(1)

– напряженность электрического поля на оси кольца.

Если L>>R, то

т. е. на больших расстояниях заряженное кольцо можно рассматривать как точечный заряд.

Подставляя в (1) числовые данные, получим соответственно

2) Выразим величины х и L через угол a. Имеем

R=sina, L=cosa.

Теперь формула (1) примет вид:

Для нахождения максимума величины Е возьмем производную и приравняем ее нулю

делим на cos2a

Тогда расстояние L точки А от центра кольца, на котором напряженность электрического поля максимальна, равно

График E=f(L):
 
 

 

В нашем случае R=0,1 м и, следовательно,

Lm=7,1×10-2 м, Еmax=1732 В/м.

Ответ: напряженность электрического поля на 0 м; 0,05 м; 0,08 м; 0,1 м; 0,15м равна соответственно 0 В/м; 1609 В/м; 1714 В/м; 1590 В/м; 1152 В/м. Напряженность будет максимальной на расстоянии от центра и равна Е=1732 В/м.


Тема 2

Потенциал

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля определяется работой, которую надо совершить, чтобы единицу заряда перенести из одной точки в другую

Потенциал точечного заряда

где r – расстояние от заряда.

Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением

где U – разность потенциалов между пластинами конденсатора,

d – расстояние между ними.

Шаровой конденсатор

Разность потенциалов между внутренней сферой и какой-либо точкой внутри конденсатора, удаленной на расстояние r от центра конденсатора, равна

где а – радиус внутренней сферы.

Плоский конденсатор

Разность потенциалов между положительно заряженной пластиной и произвольной точкой, удаленной на расстояние х от нее, равна

3) Цилиндрический конденсатор

Разность потенциалов между внутренним цилиндром и произвольной точкой между электродами равна

где а – радиус внутреннего цилиндра,

q1 – заряд внутреннего цилиндра на единицу длины.

Задача 9

Шарик массой m=40 мг, заряженный положительным зарядом q1=1 нКл, движется со скоростью v=10 см/с. На какое расстояние r может приблизиться шарик к положительному точечному заряду q2=1,3 нКл?

Дано: Решение: Шарик, летящий в направлении точечного заряда, будет тормозиться полем до тех пор, пока не остановится на некотором расстоянии от него. После остановки шарик начнет двигаться назад и улетит в бесконечность. В момент остановки, когда скорость шарика относительно точечного заряда равна нулю, расстояние между ними
y q2q1
       
   


q1 q2 x

       
   
 
 


r
r – ? будет минимальным.

Воспользуемся законом сохранения и превращения механической энергии

(1)

Работа внешних сил над электроном – работа сил поля равна

где j1 – потенциал поля заряда в той точке, где шарик обладал кинетической энергией

j2– потенциал поля заряда в той точке, где шарик остановился W2=0.

Если расстояние от заряда до указанных точек поля равно r и R, то, учитывая, что e=1, для потенциалов поля в этих точках получим

С учетом этих выражений для работы сил поля будем иметь

или

(2)

т. к. в данном случае R>>r.

Подставляем (2) в (1)

Вычисления:

Ответ: шарик сможет приблизиться к положительному точечному заряду на расстояние 6 см.

Задача 10

На какое расстояние могут сблизиться два электрона, если они движутся навстречу друг другу с относительной скоростью 108 см/с?

Дано: Решение: Будем считать, что один электрон неподвижен. Свяжем систему координат с неподвижным зарядом. Значит, второй электрон будет приближаться к первому со скоростью u=106 м/с. Воспользуемся законом сохранения и превращения механической энергии: (1)
r – ?  
y  
       
   


x

r