Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування
Скалярним добутком двох векторів 
і 
називається число
S =| 
| | 
|сos( 
).
Ця операція позначається 
. Зокрема, скалярний квадрат вектора дорівнює квадратові його довжини, тобто 
. Якщо один з векторів, що перемножуються, одиничний, то:
.
Властивості скалярного добутку:
1) × = ï ï2;
2) × 
= 0, якщо ^ або = 0, або = 0.
3) × = × ;
4) ×( + 
) = × + × ;
5) (m )× = ×(m ) = m( × ).
Нехай задані вектори у прямокутній системі координат
тоді 
.
Якщо розглядати вектори 
у декартовій прямокутній системі координат, то × = xa xb + ya yb + za zb.
Використовуючи отримані рівності, отримуємо формулу для обчислення кута між векторами:
.
Якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює нулеві, то ці вектори ортогональні. Дійсно, якщо жоден з векторів не нульовий, то, за означенням скалярного добутку, останній може дорівнювати нулеві тільки тоді, коли 
, тобто 
.
Рис.3.
Якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює нулеві, то ці вектори ортогональні. Дійсно, якщо жоден з векторів не нульовий, то, за означенням скалярного добутку, останній може бути рівним нулеві тільки тоді, коли 
, тобто .
Якщо вектор представлений через проекції на базисні вектори, то говорять про розкладання вектора 
по ортогональному базису. З рисунка видно, що в цьому випадку вектор 
є головною діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, ребра якого паралельні осям координат і дорівнюють довжинам проекцій вектора на ці осі. З цього ж рисунка випливає, що модуль вектора чисельно буде дорівнює
.
З означення скалярного добутку випливає, що будь-який вектор, незалежно від типу, можна представити у вигляді:
,
де 
, 
і 
є скалярний добуток вектора з ортами осей координат.
У цьому випадку результат являє собою проекцію вектора на напрямок одиничного вектора 
. Отже, будь-який вектор можна представити як 
, де 
- проекції вектора відповідно на осі 0х, 0у і 0z.
З останньої рівності маємо
де a, b і g - кути, що утворює вектор відповідно з осями 0х, 0у і 0z.
Лінійно незалежні вектори , 
і 
утворюють праву трійку векторів, якщо вони мають таку ж орієнтацію, як відповідно великий, вказівний і середній палець правої руки, у протилежному випадку говорять про ліву трійку векторів.
Три одиничних вектори i, j, k, попарно ортогональні один одному й утворюючій правій трійці векторів, називають прямокутною декартовою системою координат.
Кутом між векторами 
і називають такий кут a, не переважаючий p, на який потрібно повернути вектор , щоб сполучити його з напрямком вектора , початок якого повинен збігатися з початком . Кут між векторами позначається ( , ) або ( Ù ).
Рис.4.
Означення. Векторним добуткомвекторів і називається вектор 
, який задовольняє наступні умови:
1) 
, де j - кут між векторами і ,
2) вектор ортогональний векторам і ,
3) , і утворюють праву трійку векторів.
Векторний добуток позначають: 
або 
.
Властивості векторного добутку векторів:
1) 
;
2) 
, якщо ïï або = 0 або = 0;
3) (m )´ = ´(m ) = m( ´ );
4) ´( + ) = ´ + ´ ;
5) Якщо задані вектори (xa, ya, za) і 
(xb, yb, zb) в декартовій прямокутній системі координат з одиничними векторами 
, то
´ = 
.
6) Геометричний зміст векторного добутку – площа паралелограма, побудованого на векторах і .
Означення. Мішаним добуткомвекторів , і 
називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на вектор, рівний векторному добутку векторів і .
Позначається 
або ( , , ).
Мішаний добуток векторів за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , і .
Властивості мішаного добутку:
1) Мішаний добуток дорівнює нулеві, якщо:
а) хоча б один з векторів дорівнює нулеві;
б) два з векторів колінеарні;
в) вектори компланарні.
2) 
.
3) 
.
4) 
.
5) Об’єм трикутної піраміди, утвореної векторами , і , дорівнює
6) Якщо 
, 
, то
.