Ортогональное разложение векторов
Определение. Говорят, что вектор ортогоналенк подпространству
, если вектор
ортогонален любому вектору из этого подпространства.
Определение. Ортогональным дополнением к подпространству из евклидова пространства
называется множество всех векторов из
, ортогональных подпространству
. Обозначается
.
Определение. Пусть вектор представлен в виде
, где
, а
, тогда вектор
называется ортогональной проекцией вектора
на подпространство
, вектор
называется ортогональной составляющей вектора
относительно подпространства
,
число называется расстоянием от вектора
до подпространства
, а угол между векторами
и
называется углом между вектором
и подпространством
.
Утверждение. Ортогональное дополнение к подпространству из евклидова пространства само является подпространством евклидова пространства .
Утверждение. Сумма подпространств +
является прямой суммой.
Утверждение. Если – некоторое подпространство евклидова пространства
, то справедливо равенство
+
=
.
Примеры
1. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство
, порождённое векторами
.
Решение. Вначале определим базис данного подпространства. Проверим, являются ли линейно независимыми векторы . Условие линейной независимости (зависимости) данных векторов
представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов
. Найдём решение этой системы с помощью элементарных преобразований её матрицы:
Как видно, ранг системы равен 3, определитель системы отличен от нуля. Следовательно, однородная система трёх уравнений для трёх неизвестных имеет лишь тривиальное решение: .
Таким образом векторы линейно независимы и составляют
базис заданного подпространства. По определению вектор , представляющий ортогональную проекцию
на подпространство
, принадлежит
и ортогонален
. Эти условия приводят в итоге к системе уравнений для координат
вектора
в базисе
подпространства
:
где - элементы матрицы Грама.
В соответствии с формулой Крамера решение этой системы имеет вид
где - определитель матрицы Грама системы базисных векторов, а
- определитель, полученный из определителя Грама заменой
-го столбца на столбец из свободных членов
выписанной системы уравнений.
В рассматриваемой задаче элементы матрицы Грама равны
Элементы столбца свободных членов: .
Учитывая это, для определителей имеем
Откуда .
Таким образом, для ортогональной прекции вектора на подпро-странство
получим
Задачи
3.76. Найти размерность и базис ортогонального дополнения к линейной оболочке векторов:
а) ,
; б)
,
,
;
в) ,
,
.
3.77. Найти размерность и базис ортогонального дополнения к подпространству, заданному системой
а) ; б)
;
в)
3.78. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
вектора
относительно подпространства, порожденного векторами
, если
а) ,
,
;
;
б) ,
,
;
.
3.79. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
вектора
относительно подпространства, заданного системой
.
3.80. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую
вектора
относительно ортогонального дополнения к линейной оболочке векторов
,
.
3.81. Найти расстояние от вектора до подпространства L и угол между ними, если
задано системой
.
3.82. Найти расстояние от вектора до линейной оболочки
векторов
,
и угол между
и
.
3.83. Найти угол между вектором и подпространством, порожденным векторами
, если
а) ,
,
;
б) ,
,
;
.
3.84. Основанием -мерного параллелепипеда, построенного на векторах
, служит
-мерный параллелепипед, построенный на векторах
. Найти объем
-мерного параллелепипеда и длину перпендикуляра, опущенного на основание, если
,
,
,
.
3.85. Найти угол между диагональю n-мерного куба (см.задачу 3.67) и его k-мерной гранью.