Множество действительных (вещественных) чисел, .
ПП 10. Функции. Непрерывность
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
Числовые множества
– множество натуральных чисел
;
– множество целых чисел
;
– множество рациональных чисел вида
;
– множество иррациональных чисел
.
множество действительных (вещественных) чисел, .
носится к установлению соответствия между элементами двух множеств.
Если задано правило , по которому каждому элементу
из множества
поставлен в соответствие единственный элемент
из множества
, то говорят, что на множестве
задана функция
,
,
. Множество
называется областью определения функции (ООФ) и обозначается
. Множество изменения функции
называется областью значений функции (ОЗФ) и обозначается
.
При нахождении области определения следует помнить, что:
;
;
;
;
.
При аналитическом задании функция может быть определена:
1) явно - уравнением вида ;
2) неявно - уравнением вида ; Уравнение
может определять не одну, а несколько функций вида
. Так, уравнение
определяет две функции:
и
.
3) параметрически – .
Функция с симметричной относительно нуля областью определения
называется четной, если для любого
выполняется равенство
.
Из определения четной функции следует, что ее график симметричен относительно оси ординат. Например, функции ,
являются четными, их графики имеют вид:
Функция с областью определения
называется нечетной, если для любого
выполняется равенство
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции и
являются нечетными, их графики имеют вид:
Функция не является ни четной, ни нечетной, так как
.
Функция называется периодической, если существует такое число
, что для любого
выполнены условия: 1)
;
2) .
Число называется периодомфункции
.
Если – период, то
тоже является периодом:
,
а также
,
,
.
Наименьший положительный период называется основнымпериодом данной периодической функции.
Основной период функций ,
равен
, а функций
,
равен
. Период функций
и
равен
. Функция
основногопериодане имеет, так как
при любом
, в том числе и при
.
Функция называется ограниченной на множестве
, если
.
Например, функция ограничена на всей числовой оси;
ограничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения
.
Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве
, если
; (
).
Например, ограничена снизу на всей области определения
.
Точная верхняя (нижняя) грань множества значений функции
на
называется точной верхней (нижней) гранью функции
на
и обозначается
(
).
Например, ,
.
Если число (
) принадлежит множеству
значений функции
на
, то оно называется наибольшим (наименьшим) значением
на
и обозначается
(
).
Например, ,
не существует.
Пусть определена на множестве
и множество
.
Если :
-
возрастающая на
;
-
неубывающая на
;
-
убывающая на
;
-
невозрастающая на
.
Все четыре типа в совокупности называются монотонными на , а возрастающие и убывающие - строго монотонными на
.
Обратная функция. Сложная функция
Функция ,
,
обратима, если каждое свое значение она принимает один раз, то есть для каждого
существует только одно значение
такое, что
.
Для нахождения обратной функции нужно:
1. выразить через
;
2. поменять местами и
.
Множество значений обратной функции совпадает с областью определения функции
, а область определения обратной функции
совпадает с множеством значений функции
.
Графики функций и
симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть прямой
.
Если и
- функции одного переменного, то функция
, определенная соотношением
на области
, называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций
и
и обозначается
.
Основные элементарные функции
1. Степенные функции
1.1. ![]() | ||
![]() | ![]() | |
1.2. ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | |
1.3. ![]() | ||
![]() | ![]() | |
1.4. ![]() | ||
![]() | ![]() | |
2. Трансцендентные функции
2.1. Показательная
![]() |
2.2. Логарифмическая ![]() |
![]() |
![]() |
3. Тригонометрические функции | |
3.1. ![]() ![]() | 3.2. ![]() |
![]() | ![]() |
3.3. ![]() ![]() | 3.4. ![]() |
![]() | ![]() |
.
4. Обратные тригонометрические функции | |
4.1. ![]() ![]() | 4.2. ![]() ![]() |
![]() | ![]() |
4.3. ![]() ![]() | 4.4. ![]() ![]() |
![]() | ![]() |
![]() ![]() ![]() | |
5. Гиперболические функции | |
5.1. Гиперболический синус
![]() | 5.2. Гиперболический косинус
![]() |
![]() | ![]() |
5.3. Гиперболический тангенс
![]() | 5.4. Гиперболический котангенс
![]() |
![]() | ![]() |
,
,
,
.
Непрерывность функции
Определение 1.
Пусть функция определена на множестве
и пусть точка
. Функция
называется непрерывной в точке
, если 1)
, 2)
, 3)
.
Функция называется непрерывной в точке
,если по любому
можно указать такое
, что
,если
.
Определение 2.
Функция называется непрерывной в точке
, если функция определена в точке
и при этом
, то есть бесконечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции.
Определение 3.
Функция называется непрерывной в точке
, если функция определена в точке
, существуют односторонние пределы
и при этом
.
Функция называется непрерывной в точке
слева, если функция определена в точке
и существует односторонний предел
и при этом
.
Функция называется непрерывной в точке
справа, если функция определена в точке
и существует односторонний предел
и при этом
.
Функция, непрерывная в любой точке множества , называется непрерывной на множестве
.