ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
ПП 9. Предел Функции
О.1. Определение предела по Гейне(на языке последовательностей). Число 
называется пределом функции 
в точке 
, если для любой последовательности 
такой, что 
, выполняется равенство 
, которое обозначают: 
.
О.2. Определение предела по Коши(на языке 
- 
). Число называется пределом функции в точке , если 
.
| Понятие | Обозначение | Определение |
Предел функции  в точке 
| 
| 
|
| - бесконечно большая функция в точке
| 
| 
|
| 
| |
| 
| |
Предел функции при 
| 
| 
|
| 
| |
- бесконечно большая функция при 
| 
| 
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| Односторон-ние пределы справа и слева | 
| 
|
| 
| |
| - бесконечно большая функция справа и слева от точки
| 
| 
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства
Функция 
называется бесконечно малой в точке 
, если 
.
Функция 
называется бесконечно большойв точке , если 
. Записывается это как 
.
Свойства:
. Если 
, то 
.
. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.
. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
. Если 
, то 
.Если 
- бесконечно малая функция при 
и 
при 
, то 
- бесконечно большая функция при . Если 
- бесконечно большая, то - бесконечно малая.
6. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.
7. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.
Свойства функций, имеющих предел
| где 
|
где 
|
Если 
и 
, то
где 
.
Если функции 
и 
имеют одну область определения 
и 
, то 
Теорема о пределе промежуточной функции.
Если 1) 
, 2) 
,
то 
.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел 
: 
.
Второй замечательный предел 
: 
; 
.
Сравнение бесконечно малых функций
Для бесконечно малых выполняется:
1) a1(x) и a2(x) одного порядка, если 
, A < ¥;
2) a1(x) ~ a2(x) - эквивалентные, если 
;
3) a1(x) = о (a2(x)) - a1(x) бесконечно малая более высокого порядка малостипо сравнению с a2(x), если 
;
4) если a1(x) ~ a2(x), a3(x) ~ a4(x), то 
Эквивалентные бесконечно малые при x ® 0:
~ 
, 
~ 
, 
~ 
, 
~ 
,
~ 
.
Ряд эквивалентных бесконечно малых при x ® 0:
x ~ sin x ~ arcsin x ~ tg x ~ arctg x ~ 
~ ex – 1 ~ ln(1 + x).
Некоторые пределы:
| пп 9. Теоретические Упражнения | ||
| ТУ ПП 9. №1. | Докажите, что предел  не существует.
РЕШЕНИЕ:
В определении Гейне предполагается, что {xn} – любая последовательность значений аргумента. Выберем две разных бесконечно больших последовательности: xn = pn и x¢n = p/2 + 2pn, где n ÎN, для которых  и  Поскольку  а  , то  не существует.
| |
| ТУ ПП 9. №2. | Всегда ли сумма бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией?
РЕШЕНИЕ:
Пусть  ,  - бесконечно большие при  .
1) Если  ,  , то  не является бесконечно большой функцией.
2) Если ,  , то  является бесконечно большой функцией.
| нет |
| ТУ ПП 9. №3. | Бесконечно большая при функция, является неограниченной в окрестности точки  . Выполняется ли обратное утверждение?
РЕШЕНИЕ:
Не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Рассмотрим две неограниченных функции  и  .
1) - бесконечно большая при  , так как для любого числа  можно указать окрестность точки  , в каждой точке которой 
 2) - является неограниченной при  , но бесконечно большой не является, так как для любого числа в каждой окрестности точки можно указать точку, в которой  , но в этой же окрестности найдутся точки, не удовлетворяющие этому условию, для которых, например,  .
| нет |
| ТУ ПП 9. №4. | Докажите, что если  и  при  , то  .
РЕШЕНИЕ:
 ,  ,    .
| |
| ТУ ПП 9. №5. | Используя результат задачи 5.364, вычислить предел  .
РЕШЕНИЕ:
Используя ряд эквивалентностей при  , можно записать:  ,  ;  .
| |
| ТУ ПП 9. №6. | С помощью определения предела функции на языке последовательностей докажите второй замечательный предел  . Покажите, что функция y = (1 + 1/x) x при x ® ¥ имеет предел, равный числу e.
РЕШЕНИЕ:
Пусть x ® +¥. Тогда можно применить определение Гейне и рассмотреть последовательность xn = n: 
Пусть x ® -¥. Тогда сделаем замену переменной t = -(x + 1) и, выражая x = -(t + 1), установим, что из x ® -¥ следует t ® +¥.
| |
| ТУ ПП 9. №7. | Докажите соотношение:  .
РЕШЕНИЕ:
    .
| |
| ТУ ПП 9. №8. | Докажите соотношение:  .
РЕШЕНИЕ:
Заменим переменную:   (см. предыдущее упр.)  .
| |
| ТУ ПП 9. №9. | Докажите соотношение:  .
РЕШЕНИЕ:
Используем формулу бинома Ньютона для нецелого показателя степени  .    .
| |
| ТУ ПП 9. №10. | Докажите соотношение: .
РЕШЕНИЕ:
  .
| |
| ТУ ПП 9. №11. | Определите порядок малости  относительно  при .
РЕШЕНИЕ:
 ,  , откуда  , т.е., порядок малости  относительно при равен  .
| |
| ТУ ПП 9. №12. | Докажите, что  имеет второй порядок малости относительно  при ,
если  ,  .
РЕШЕНИЕ:
 ,  ,  при .
|
| пп 9. 2. ПреДЕЛЫ ФУНКЦИЙ | ||
| ТУ ПП 9. №13. | Докажите, что  (найдите  ).
РЕШЕНИЕ:
По определению предела функции:
      .
1). Возьмем произвольное 
2). Положим 
3). Возьмем . Тогда если  то , что и требовалось доказать.
| 
|
| ТУ ПП 9. №13. | Пользуясь определением предела функции Коши, докажите (найдите ), что 
РЕШЕНИЕ:
Поскольку по определению Коши из неравенства |x - 1| < d следует |f(x) – (-5)| < e, решим неравенство |(3x – 8) + 5| < e:
|3x – 8 + 5| = |3x - 3| = 3|x - 1| < e, |x - 1| < e/3.
Возьмем d(e) = e/3, тогда |x - 1| < d = e/3 Þ Þ |(3x – 8) – (-5)| < e , что и означает, что 
| d = e/3 |
| п/п | Задание | Ответ |
| ПП 9. №1. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
Значение функции  определено в точке x = 2. Вычислим значение функции 
| |
| ПП 9. №2. | Вычислите предел  .
РЕШЕНИЕ:
| 
|
| ПП 9. №3. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
Как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень x, т.е. на x3:
|
| ПП 9. №4. | Вычислите предел  .
РЕШЕНИЕ:
 =
Так как число 3 является корнем числителя и знаменателя, поделим числитель и знаменатель на 
 
 найдем корни квадратных трехчленов 
| 
|
| ПП 9. №5. | Вычислите предел  .
РЕШЕНИЕ:
Пусть  . Тогда  .
| 
|
| ПП 9. №6. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
Домножим числитель и знаменатель на выражение  , сопряженное числителю, и учтем, что (a – b)×(a + b) = a2 – b2, тогда:
    .
| 
|
| ПП 9. №7. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
Домножим и поделим на сопряженную величину:
|
| ПП 9. №8. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
Домножим числитель и знаменатель на величину, сопряженную числителю:
 
| |
| ПП 9. №9. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
| |
| ПП 9. №10. | Вычислите предел  .
Применим первый замечательный предел:
| |
| ПП 9. №11. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
 
| |
| ПП 9. №12. | Вычислите предел  .
РЕШЕНИЕ:
 
| |
| ПП 9. №13. | Вычислите предел  .
РЕШЕНИЕ:
| 
|
| ПП 9. №14. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
  
| 
|
| ПП 9. №15. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
 
| 
|
| ПП 9. №16. | Вычислите предел  .
РЕШЕНИЕ:
Применим второй замечательный предел:
| 
|
| ПП 9. №17. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
  .
|
| ПП 9. №18. | Вычислите предел  .
РЕШЕНИЕ:
 
| 
|
| ПП 9. №19. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
  .
| 
|
| ПП 9. №20. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
Выясним тип неопределенности. Так как  , а  , степенно-показательная функция  порождает неопределенность (1¥). Для того, чтобы применить второй замечательный предел, преобразуем основание к виду
 , тогда
| |
| ПП 9. №21. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
При x ® 0 sinx ~ x. 
| е |
| ПП 9. №22. | Вычислите предел 
РЕШЕНИЕ:
При x ® 0 sinx ~ x, sin4x ~ 4x.
| 
|