Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Непрерывная случайная величина 
может быть задана функцией распределения (называемой также интегральной функцией распределения)
или же плотностью распределения вероятностей (называемой также дифференциальной функцией распределения):
(1)
Равенство (1) имеет место в точках непрерывности функции 
.
Зная плотность распределения вероятностей, можно найти функцию распределения:
(2).
Свойства плотности распределения вероятностей:
1. 
2. 
. (3)
В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то
.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение 
, определяется равенствами:
. (4).
Задача образец.
Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Найти функцию распределения 
Решение. Если 
, то 
, следовательно,
Если 
, то 
Если 
, то
Таким образом, случайная величина имеет следующую функцию распределения:
Задача 1.
Случайная величина задана функцией распределения
Найти:
а) плотность распределения вероятностей 
;
б) графики функций и ;
в) по известной функции и по найденной функции найти вероятность того, что в результате испытания примет значения, не меньшее 2,1 и не большее 2,5.
Дать геометрическую интерпретацию величины найденной вероятности 
Ответ: а) 
;
б)
|
в) 0,24.
Задача 2.
Случайная величина задана функцией распределения
Найти:
а) постоянные b и с.
б) плотность распределения вероятностей величины .
Ответ: а) 
;
б) 
Задача 3.
Случайная величина , все возможные значения которой принадлежат интервалу 
, задана в этом интервале плотностью распределения вероятностей 
. Найти коэффициент 
.
Ответ: 
Задача 4.
График плотности распределения вероятностей случайной величины имеет вид, изображенной на рис. 1.
Найти аналитическое выражение для на всей числовой оси.
Ответ: 
Задача 5.
Случайная величина подчинена закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на отрезке 
рис.2.
Указание: 
Уравнения прямой 
и прямой 
найти из уравнения 
, где 
отрезки отсекаемые прямой на осях. Получиться для 
и для 
.
Найти:
а) плотность распределения вероятностей этой случайной величины;
б) вероятность попадания величины в интервал 
ответ: а) 
Задача 6.
Дана функция 
. Найти значение постоянного множителя 
, при котором эта функция могла бы характеризовать плотность распределения вероятностей случайной величины при условии, что все возможные значения величины находятся на луче 
.
Ответ: 
.
Задача 7.
Дана функция 
. Найти такое значение постоянного множителя , при котором эта функция могла бы охарактеризовать плотность распределения вероятностей случайной величины при условии, что 
.
Ответ: 
.
Задача 8.
Случайная величина на всей числовой оси задана дифференциальной функцией распределения 
(закон Коши).
Найти:
а) функцию распределения случайной величины ;
б) вероятность того, что в результате испытания примет значение из интервала 
.
Ответ: а) 
; б) 
.