Локальная теорема Муавра-Лапласа

Классическое определение вероятности события

Вероятность события А равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А к общему числу элементарных исходов:

.

Свойства вероятности события:

1) . 2) . 3) .

Практически невозможным называется такое событие, вероятность которого очень мала (близка к нулю).

Практически достоверным называется такое событие, вероятность которого достаточно большая (близка к единице).

 

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в n произведенных испытаниях:

,

где m – число испытаний, в которых появилось событие А.

Геометрическое определение вероятности

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством:

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания этой точки на фигуру g определяется равенством:

Суммой событий А и В называется такое событие С = А + В, которое означает наступление или А, или В, т.е. хотя бы одного из них.

Произведением событий А и В называется событие С = А × В, состоящее в совместном наступлении события А и события В.

Разностью событий А и В называется событие С = А – В, состоящее в наступлении события А и не наступлении события В.

 

Число размещений из n элементов по m равно:

Число перестановок из n элементов равно:

Число сочетаний из n элементов по m равно:

 

 

Основные теоремы

Теорема сложения вероятностей событий

Для несовместных событий:

Для произвольных событий:

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

 

Вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого:

Теорема умножения вероятностей событий

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Формула полной вероятности

Если событие А может произойти только при появлении одного из событий (гипотез) Н₁, Н₂, …, H_n образующих полную группу, то

Формула Байеса

Если произошло событие А, которое может появиться только с одной из гипотез Н₁, Н₂, …, H_n образующих полную группу событий, то условные вероятности гипотез определяются по формуле:

 

 

Повторные испытания

 

Повторные испытания – это последовательное проведение n раз одного и того же опыта или одновременное проведение n одинаковых опытов.

Последовательностью независимых испытаний (схемой Бернулли)называют повторные испытания, удовлетворяющие следующим условиям:

1) в каждом испытании может появится только два исхода: наступит некоторое событие А (успех), либо наступит его дополнение (неудача);

2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность успеха в m-м испытании не зависит от исходов всех испытаний до m-го;

3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна (вероятность неудачи в каждом испытании обозначают q: .

 

При рассмотрении схемы испытаний Бернулли основной задачей является нахождение вероятности – вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит точно m раз (0 m n).

Формула Бернулли

,

где , .

Число наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события , по крайней мере, не меньше вероятности других событий при любом m:

Формула Пуассона

Если число испытаний неограниченно увеличивается ( ), вероятность p наступления события А в каждом испытании неограниченно уменьшается ( ), но так, что их произведение np является постоянной величиной ( – const), то:

На практике используется приближенное равенство:

,

когда вероятность успеха мала, т.е. успех является редким событием, а количество испытаний n – велико: и .

 

В тех случаях, когда число испытаний n – велико, а вероятность успеха p – не близка к нулю ( ), для вычисления используют теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико ( , , ), то имеет место приближенное равенство:

– функция Гаусса (плотность стандартного нормального распределения).

Приближенное равенство тем точнее, чем больше n. На практике проверяется условие:

Свойства функции Гаусса:

1) – функция четная: ;

2) при , – монотонно убывает;

3) при , (на практике считают, что при , ).