Продолжения операторов и функционалов
Комментарий. Рассмотрим для определённости банаховы пространства. Если оператор определён не на всём банаховом пространстве , а на линейном многообразии
, то можно ли его продолжить на всё пространство, то есть можно ли построить новый оператор, совпадающий со старым на многообразии
и сохраняющий какие-то его свойства на всём банаховом пространстве
? Для линейных операторов имеет место
Теорема. Пусть
непрерывный линейный оператор, заданный на всюду плотном линейном многообразии банахова пространства
, где
банаховы пространства. Тогда существует непрерывный линейный оператор
, причём
, а нормы этих операторов совпадают, то есть
.
Пусть
. Поскольку линейное многообразие
всюду плотно в пространстве
, то
, причём
(по определению всюду плотного множества). То есть последовательность
фундаментальна, а тогда
. Но тогда и последовательность
фундаментальна, а пространство банахово, то есть полное и поэтому последовательность
. Положив
, мы определим некоторый оператор
.
Однако, линейный непрерывный функционал можно продолжить без изменения нормы, даже если он первоначально задан не на всюду плотном линейном многообразии банахова пространства.
Определение 1. Вещественный функционал , заданный на вещественном линейном пространстве
, называется однородно-выпуклым (полунормой) , если
и
верно, что
и
.
Определение 2. Пусть функционал задан на линейном многообразии
, где
линейное нормированное пространство. Вещественный функционал
есть продолжение функционала
, если
.
Теорема 1 (Принцип продолжения Хана Банаха). Пусть линейный непрерывный функционал
задан на линейном многообразии
, где
линейное нормированное пространство, причём на линейном нормированном пространстве
задан однородно-выпуклый функционал
. Тогда функционал
можно продолжить на всё пространство
, причём для продолжения
выполнено, что
.
Пусть
. Для любого действительного
рассмотрим множество
.
1. Покажем, что это множество есть линейное многообразие, причём любой элемент из него имеет однозначное представление.
Пусть для любого действительного
существует элемент
, имеющий два представления
и
. Если
, то и
. Если
, то
, то есть
. Но
, то есть и
, а, следовательно, и левая часть принадлежит
, но
. Очевидно, что
есть линейное многообразие, так как
имеем
.
2. Сформулируем требования, которым должен удовлетворять функционал , чтобы его продолжение удовлетворяло неравенству
. Пусть каким
либо образом удалось получить продолжение функционала
на
, причём так, что выполняются условия теоремы:
1. выполнено
и 2.
выполнено
. Тогда
можно записать, что
(
значение функционала в точке
, а
). Таким образом, любой линейный функционал, продолжаемый с линейного многообразия
на линейное многообразие
должен иметь вид
, где
константа. Но для того, чтобы сохранялись свойства, надо показать, что
. Рассмотрим два случая.
1) Пусть . Разделив на
, получим
. Тогда в силу линейности функционала
,
, а из первого свойства полунормы
, то есть
.Так как
произвольное, то
произвольный элемент из
. Обозначив его через
, сразу получим
.
2) Пусть . Разделив неравенство
на
, получим
. Обозначим
. Теперь
, то есть
. Итак, если мы хотим, чтобы продолжение удовлетворяло неравенству
, нужно показать, что
константу С, определяющую продолжение, всегда можно выбрать так:
.
Рассмотрим соотношение . Так как это условие выполняется , в том числе и для супремума и инфинума, то . Таким образом, константу С, удовлетворяющую условию теоремы, следует выбрать так: .
1. Опишем завершение доказательства. Если сепарабельное банахово пространство, то в нём существует счётное всюду плотное множество
. Матиндукцией осуществляем продолжение, последовательно присоединяя к
те элементы, которых там нет. В результате мы получим продолжение функционала на всюду плотное линейное многообразие
. Дальше, как указано в комментарии, продолжение функционала осуществляется по непрерывности:
, причём все
,
,
. Если пространство не сепарабельно, но банахово, то доказательство завершается методом трансфинитной индукции, обобщающим метод математической индукции на несчётные множества.
Примерно в этом месте в основном и заканчивается ликбез и начинается то, что математики называют функциональным анализом.
КУЛЬТУРНЫЙ МИНИМУМ.
- Что такое линейный оператор? Примеры.
- Что такое ограниченный линейный оператор? Понятие нормы.
- Какой оператор называется непрерывным в точке,на D(A)? Все определения.
- Принцип открытости отображений Банаха. Идея доказательства.
- Что такое равномерная и поточечная (сильная)сходимость последовательности НЛО
к оператору
?
- Какой оператор называется сжимающим? Что такоенеподвижная точка оператора?
- Какой оператор называется обратимым,непрерывно обратимым? Что такое ядро и образ оператора? Какой оператор называется вырожденным?
- Какая задача называется корректной по Адамару?
- Какой оператор называется замкнутым? Теорема о пришельцах.
- Что такое график линейного оператора?
- Какой оператор называется компактным?
- Какой операторназывают сопряженным к оператору
? Какие операторыназывают самосопряжёнными и нормальными?
ВОПРОСЫ.
1. Доказать, что
2. Доказать, что оператор дифференцирования не ограничен в пространствах и ограничен в пространствах
.
3. Доказать критерий непрерывности линейного оператора, как непрерывного в нуле.
4. Доказать критерий непрерывности линейного оператора, как ограниченного.
5. Доказать, что замыкание образа окрестности нуля в пространстве содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве
.
6. Доказать, что образ окрестности нуля в пространстве содержит в себе некоторую окрестность нуля в пространстве
.
7. Доказать принцип открытости отображений Банаха.
8. Доказать, что пространство есть нормированное пространство с нормой
.
9. Доказать, что пространство банахово в смысле равномерной сходимости.
10. Доказать, что пространство банахово в смысле поточечной сходимости.
11. Доказать принцип равномерной ограниченности Банаха Штейнгауза.
12. Доказать принцип сжимающих отображений Банаха.
13. Доказать теорему о линейности обратного оператора.
14. Критерий обратимости линейного оператора, как невырожденного. Контрпример.
15. Критерий существования и непрерывности обратного оператора.
16. Доказать теорему Банаха о гомеоморфизме.
17. Доказать теорему Банаха о замкнутом графике.
18. Доказать критерий замкнутости линейного оператора.
19. Доказать, что компактный оператор всегда ограничен.
20. Теорема о коразмерности ядра ненулевого непрерывного функционала .
21. Теорема о связи непрерывности функционала и замкнутости его ядра.
22. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала.
23. Доказать принцип продолжения Хана Банаха.
ЗАДАЧИ.
1. Линейный функционал в в точках (1,2) и (3,4) равен 5 и 6 соответственно. Найти его значение в точке (7,8) и норму.
2. Найти норму преобразования
.
3. Найти норму преобразования
.
4. Найти норму преобразования
.
5. Показать, что оператор Фредгольма непрерывен в пространстве
6. Показать, что оператор Фредгольма непрерывен в пространстве .
7. Является ли сжимающим отображение на отрезке
?
8. Является ли отображение сжимающим в
?
9. При каких оператор Фредгольма
является сжимающим при действии
;
10. При каких оператор Фредгольма
является сжимающим при действии
11. При каких оператор Вольтерра
является сжимающим при действии
.
12. Показать, что оператор интегрирования на паре пространств замкнут.
13. При каких оператор Вольтерра
является сжимающим при действии
.
14. Показать замкнутость оператора дифференцирования при действии .
15. Существует ли оператор, обратный к оператору дифференцирования?
16. Показать, что единичный оператор ограничен, но не компактен.
17. Найти оператор, сопряженный к оператору Фредгольма.
18. Найти оператор, сопряженный к оператору .