Расчет вероятности ошибок при приеме дискретных сигналов

Пусть передан первый из сигналов, т.е. .

Решение , в данном случае ошибочное, будет принято, если величина окажется больше величины .

или

.

Искомая вероятность ошибки равна:

где

Величина имеет гауссовское распределение, т.к. - подчинено гауссовскому распределению и известно, что линейные преобразования гауссовских распределений есть тоже гауссовское распределение.

Найдем параметры распределения величины .

Поскольку шум белый, то .

Тогда:

Получаем, следовательно:

.

Делаем замену переменной .

 

- функция нормального распределения табулирована.

Аналогично, можно показать, что и средняя вероятность ошибки:

.

Если вспомним определение расстояния между сигналами в Гильбертовском пространстве:

, то формулу для вероятности ошибки можно переписать в таком виде:

, где

- средняя энергия сигналов,

- мера несхожести сигналов (при совпадает с коэффициентом корреляции между сигналами).

Рассмотрим примеры.

1. Если бы сигналы были неразличимые, то ,

- очевидный результат.

2. Пусть сигналы противоположны, т.е. . Этот случай соответствует двоичной фазовой модуляции со скачком фазы равным .

,

3. Пусть сигналы и ортогональны. Этот случай соответствует частотной модуляции в частности.

,

4. Для случая амплитудной модуляции:

, , ,

.

Как видно из формул, потенциальная помехоустойчивость определяется отношением энергии сигнала к спектральной мощности помех и видом (геометрией) сигналов. Максимальной помехоустойчивостью обладает система передачи с ФМ. Для получения одинаковой вероятности ошибки при использовании ортогональных сигналов требуется в два раза большая энергия, а при АМ в четыре раза большая, чем при ФМ.

График зависимости вероятности ошибки от отношения для ФМ, ЧМ и АМ сигналов приведен ниже. На рисунке показано, как выбирается разделяющая граница, и как изменяется в зависимости от вида сигналов расстояние между ними.

 

 

         
        10-1          
      10-2          
      10-3          
      10-4          
      10-5          
      Ре          

 

Примеры помехоустойчивых систем сигналов

Бинарные противоположные сигналы

В этом случае - единственной колебание любой формы. Векторы сигналов и выбираются так, что и .

Тогда

.

Противоположными являются два сигнала любой формы, отличающиеся знаком.

Бинарные ортогональные сигналы

В этом случае , и - ортонормированные колебания. Векторы сигналов выбираются так:

.

Временные графики сигналов и зависят от вида ортонормального набора.

Так, если

.

М-ортогональные сигналы

В этом случае образуется М сигналов из - ортогональных колебаний с конфигурацией векторов:

.

Временные графики сигналов определяются набором ортонормальных колебаний. Например, можно взять

Тогда - сигналы являются отрезками гармонических колебаний кратных частот . Реализовывать технически такой набор не очень удобно.

Биортогональные сигналы

В этом случае из ортогональных колебаний образуется сигналов путем добавления к каждому из ортогональных сигналов противоположного сигнала.

Например, к векторам сигналов из п.2 и добавляются - противоположный и - противоположный .