Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння є цілим числом.
Лінійні рівняння з параметрами
1. Теоретичний матеріал
В результаті опрацювання запропонованого матеріалу в учнів формується поняття про те, яким чином значення параметру впливає на множину розв’язків рівняння. Також формуються навички проводити попередні дослідження у разі знаходження коренів лінійного рівняння.
Найпростіші лінійні рівняння з параметрами
Зазначимо, що будь-яке лінійне рівняння можна записати у вигляді 
, де 
і 
— деякі числа, х — змінна.
• якщо 
, то при будь-якому значенні рівняння має єдиний корінь 
;
• якщо 
, 
, то рівняння коренів не має;
• якщо , 
, то рівняння має безліч коренів, усі числа.
Параметр — це невідома постійна величина в рівнянні, яка не розглядається як така, що треба знайти, а навпаки, корені рівняння знаходять залежно від цієї величини.
Розв’язати рівняння з параметрами означає з’ясувати, при яких значеннях параметрів рівняння має корені і знайти їх (як правило, залежно від параметрів, тобто розв’язування рівняння повинно супроводжуватись дослідженням).
Наприклад у рівнянні 
, х — змінна величина, яку треба знайти залежно від параметра а. Перетворивши це рівняння, дістанемо: 
. Отже, при 
; при а = 0 рівняння коренів не має.
№80
Розв’язати рівняння залежно від параметрів а і b.
Розв’язання
Виконавши у рівнянні 
тотожні перетворення, дістанемо: 
.
• Якщо , то 
при будь-якому b;
• якщо , то при 
рівняння набуває вигляду 
, тобто
коренями рівняння є всі числа;
• якщо і 
, дістанемо 
, причому 
, така рівність неможлива, тому рівняння коренів не має.
Відповідь. При і будь-якому b ; при і корені рівняння — всі числа; при і коренів немає.
№81
Розв’язати рівняння залежно від а.
Розв’язання
Запишемо рівняння у вигляді:
.
Добуток 
дорівнює нулю при 
або 
, тому розглянемо такі випадки:
1) при рівняння набуває вигляду 
, яке коренів не має;
2) при дістанемо рівняння 
, корені якого - всі числа;
3) при 
, тому 
.
Відповідь. При 
; при корені рівняння — всі числа; при коренів немає.
№82
Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
Рівність виконується, якщо 
або 
.
Розглянемо кожний випадок окремо.
1) ,
, 
.
Якщо , то рівняння набуває вигляду 
. Рівняння коренів не має.
Якщо 
, то 
.
2) 
, 
, 
, 
.
Якщо 
, то рівняння набуває вигляду 
. Рівняння коренів не має.
Якщо 
, то 
.
Відповідь. При 
, 
; при ; при .
№83
При яких значеннях параметра a рівняння .
а) не має коренів;
б) має тільки один корінь;
в) має два корені.
Розв’язання
а) рівняння не має коренів, якщо a – від’ємне число;
б) рівняння має один корінь, якщо 
, тоді 
, 
;
в) рівняння має два корені, якщо a – додатне число, маємо 
,
; 
.
№84
Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння має безліч коренів.
Розв’язання
Коренями рівняння є всі точки відрізка 
(безліч коренів), якщо 
.
Маємо 
або 
,
; 
.
Дійсно, якщо , маємо рівняння 
, так як 
, то коренями рівняння є всі точки відрізка 
.
Якщо , маємо рівняння 
. Так як 
, то коренями рівняння є всі точки відрізка 
.
Відповідь.-4; 2.
№85
Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння є цілим числом.
Розв’язання
Якщо , маємо 
, рівняння коренів не має.
Якщо 
, то 
.
За умовою 
- ціле число, це можливо, якщо 
приймає значення 
.
2. Практичний матеріал
Завдання для самостійного розв’язування
№86. При якому значенні а рівняння:
а) 
не має коренів;
б) 
має коренем будь-яке число;
в) 
має безліч коренів.
№87. Розв’яжіть рівняння залежно від параметрів a i b:
а) 
; б) 
.
№88. Розв’яжіть рівняння залежно від параметра a:
а) 
; б) 
; в) 
.
Увага!