Вывод распределения по Максвеллу
Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк Максвелл.
Рассмотрим пространство скоростных точек (каждую скорость молекулы представляем как точку (скоростную точку) в системе координат 
встационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема 
.Так как газ стационарный, количество скоростных точек в остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функции плотности вероятности для всех направлений одинаковы.
, 
, 
.
Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента 
скорости молекулы не зависит от 
и 
–компонент.
–фактическая вероятность нахождения скоростной точки в объёме 
,где 
.Прологарифмируем последнее равенство:
.
Дифференцируя полученное выражение по компоненте скорости 
, получим:
,
,
.
Правая часть не зависит от 
и 
, значит и левая от 
и 
не зависит. Однако, 
и равноправны, следовательно, левая часть не зависит также и от . Значит, данное выражение может лишь равняться некоторой константе.
,
,
.
.
Следовательно, 
.
Отсюда: 
.
Теперь нужно сделать принципиальный шаг – ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):
,
где 
–постоянная Больцмана; 
. Ввиду равноправия всех направлений: 
.
Чтобы найти среднее значение 
, проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:
.
Отсюда найдём 
: 
.
Функция распределения плотности вероятности для (аналогично для ; ): 
.
Теперь рассмотрим распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости 
лежат в шаровом слое радиуса 
и толщины 
, и 
–объем этого шарового слоя.
.
.
Учтём, что: 
; 
, получим:
,
где 
.Тогда окончательно получим: 
.
Таким образом, мы получили функцию плотности вероятности 
, которая и является распределением Максвелла.
Границы применимости
Условия применимости распределения Максвелла:
1. Равновесное состояние системы, состоящей из большого числа частиц.
2. Изотропная система.
3. Классическая система. Это значит, что система должна быть не релятивистской и не квантовой (взаимодействие частиц допускается, но только зависящее от относительного положения частиц).
Относительное число молекул 
, со скоростями, лежащими в интервале от 
до 
, рассчитывается как площадь заштрихованной полоски на рис. 111. Площадь, которая ограничена кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это значит, что функция 
удовлетворяет условию нормировки : 
.
Вид функции распределения 
(рис. 111):
На рис. 111: 
– наиболее вероятная скорость молекул, соответствует максимуму кривой; 
–средняя скорость молекул газа; 
– cредняя квадратичная скорость молекул газа.
Рис. 112.
Зависимость функции распределения Максвелла от температуры.
|
Рис. 111.
|
С ростом температуры максимум кривой распределения смещается в сторону больших температур (рис. 112).
Хотя уравнение Максвелла дает распределение скоростей, или, другими словами, долю молекул, имеющих специфическую скорость, часто более интересны другие величины, такие как средние скорости частиц. В следующих подразделах мы определим и получим наиболее вероятную скорость, среднюю скорость и среднеквадратичную скорость.
Характерные скорости