Глава 2. Пределы функций одной переменной
Основные определения, свойства пределов функций одной переменной
Основные определения
Понятие предела функции является одним из основных в математическом анализе. Определения производной, интеграла, непрерывности и т.д. основаны на использовании предела.
Число b называют пределом функции 
при 
, если для любого числа 
найдется такое число 
, что при всех х, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
. Предел функции f(x) при x, стремящемся к а, обозначают 
либо 
при .
Дадим геометрическую интерпретацию понятия предела функции в точке. На рисунке изображен график функции . Предположим, что функция имеет при пределом число b. Возьмем произвольное сколь угодно малое число . Окружим число b 
-окрестностью 
. Найдем на оси Ox такую окрестность точки a: 
, при попадании в которую значений аргумента x соответствующие значения функции попадут в -окрестность числа b. При уменьшении числа интервал будет стягиваться к числу b. Соответствующий ему интервал будет стягиваться к числу a. Это и доказывает, что .
Число b называют пределом функции при 
или 
, если для любого числа можно указать положительное число N , такое, что при всех х, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство .
Свойства предела функции
1. Функция 
при имеет единственный предел.
2. Предел постоянной равен самой постоянной: 
.
3. Постоянную можно выносить за знак предела 
.
4. Предел суммы или разности конечного числа функций равен сумме или разности пределов этих функций 
.
5. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций 
.
6. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций 
при условии, что 
.
7. Если 
, то 
.
8. Пусть функции связаны соотношением 
, причем 
, тогда и 
.
9. 
.
Следствие. 
.
10. 
.
Замечание. Все свойства пределов распространяются и на случай, когда .
Понятие неопределенностей
В практике отыскания пределов наиболее часто применяются свойства 2 - 6 об арифметических действиях над пределами. Однако их непосредственное применение бывает невозможно в особых случаях, называемых неопределенностями, которые возникают при нарушении их условий. Виды неопределенностей 
, 
, 
, 
.
Кроме этих неопределенностей, связанных с арифметическими действиями над пределами, существуют неопределенности 
, 
, 
.
Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопределенность устранить, открыв тем самым возможность использования того или иного свойства пределов. Это достигается, с одной стороны, применением алгебраических и тригонометрических преобразований (разложение функции на множители или на слагаемые, приведение дробей к общему знаменателю, добавление и вычитание некоторого выражения, умножение и деление на некоторую функцию, вынесение множителя за скобку и т.п.) заменой переменной, использованием эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших, а с другой стороны, использование так называемых замечательных пределов.
Таблица раскрытия различных видов неопределенностей
| Тип неопределенности | Правило раскрытия |
| 1.
| 1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.
|
| 1.2. Для раскрытия неопределенности вида , заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней.
| |
| 2.
| 2.1. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на  и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при , то надо произвести повторное деление на .
|
2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида ,
в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.
В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула  .
В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула  .
| |
| 3.
| 3.1. Неопределенность вида ,
получающаяся в результате алгебраической суммы иррациональных выражений, устраняется или приводится к типу 1 путем домножения и деления на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.
В случае квадратных корней разность домножается на сопряженное выражение и применяется формула .
В случае кубических корней функция домножается на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула .
|
3.2. Неопределенность вида ,
получающаяся в результате алгебраической суммы двух дробей, устраняется или сводится к типу 2 путем приведения дробей к общему знаменателю.
Пусть  ,  .
Тогда 
| |
| 4. Замечатель-ные пределы |
4.1. Первый замечательный предел
(неопределенность ).
В случае, когда под знаком предела стоят тригонометрические функции, дающие неопределенность , используется первый замечательный предел:
 .
Его различные формы:  ,
 ,  ,
 ,  ,
 ,  .
|
4.2. Второй замечательный предел
(неопределенность ):
 .
Его различные формы:  ,
 ,
 ,
 ,
 .
| |
5.
| 5.1. Неопределенность типа
сводится либо к неопределенности типа 1  , либо к неопределенности типа 2  путем перемещения в знаменатель одного из сомножителей. Пусть  , .
Тогда 
|
| 6. ,
| 6.1. Неопределенности вида ,
сводятся к неопределенности типа 5 путем логарифмирования.
|
Замечание.
Применение замечательных пределов требует понимания и запоминания структуры каждого из них и при необходимости ее воспроизведения. Так, для предела характерно отношение синуса бесконечно малого угла к самому углу. Поэтому всякий предел вида 
равен 1, если . Например, каждый из пределов 
, 
, 
есть, в сущности, первый замечательный предел и потому равен 1, чего нельзя сказать ни об одном из пределов 
, 
, 
.
Для предела 
(е - иррациональное число е=2,7182818…) характерно, что сумма, равная единице плюс бесконечно малая, возводится в степень, обратную этой бесконечно малой. Следовательно, если , то и 
. Такова структура каждого из пределов 
, 
, 
, и поэтому все они равны e, но структура пределов 
, 
, 
отлична от структуры второго замечательного предела.
Подобные рассуждения справедливы и для других форм замечательных пределов.
§3. Раскрытие неопределенностей вида
Пример 1.
Вычислить предел функции 
.
Решение.Знаменатель дроби
обращается в нуль при 
, а потому функция 
при не существует. Теорему о пределе дроби применить нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. Но определение предела функции содержит существенную оговорку: при отыскании предела функции 
при значение функции 
при 
может не рассматриваться.
Т.к. при 
числитель и знаменатель дроби – бесконечно малые функции 
и 
, то имеем неопределенность вида .
Для решения задачи используем правило 2.1 (см. таблицу). Разделим числитель и знаменатель на 
. Мы имеем право это сделать, потому что значение не рассматривается, и, значит 
.
.
Ответ: 
.
Пример 2.
Вычислить предел функции 
.
Решение.Имеем неопределенность . По правилу 2.1 разделим числитель и знаменатель на 
.
0 0
Тогда
.
Еще раз разделим числитель и знаменатель на :
.
Ответ: 
Пример 3.
Вычислить предел функции 
.
Решение. Имеем неопределенность . По правилу 2.2 умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю и применим формулу 
:
Ответ: 
.
Пример 4.
Вычислить предел функции 
.
Решение.
Т.к. здесь неопределенность и знаменатель содержит иррациональность, то, используя правило 2.2, умножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат (т.к. корень кубический) и применим формулу 
. Имеем
Ответ: 
.
Пример 5.
Вычислить предел 
.
Решение.
Т.к функция у= 
непрерывна при всех x,то, переходя к пределу под знаком непрерывной функции, получаем
.
Т.к x – бесконечно малая функция в точке x=0,
а функция 
-ограниченная в окрестности точки x = 0,
то 
-бесконечно малая функция в точке x = 0 (произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию – есть бесконечно малая функция), т.е. 
.
Т.к. функция 
непрерывна в точке x = 0,
то 
.
Используя основные теоремы о пределе функции в точке, получим
.
Ответ: 
.