Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и
(обозначается
) называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними:
.
Можно дать и другое определение. Т.к. произведение представляет собой проекцию вектора
на направление вектора
(обозначается
), а произведение
является проекцией
на направление
(обозначается
), тогда:
=
.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение длины одного вектора и проекции другого вектора на направление первого.
Из первого определения скалярного произведения следует формула для нахождения угла между векторами:
.
Свойства скалярного произведения
1) Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0 (т.к. ) и наоборот, если скалярное произведение двух векторов равно 0, то они перпендикулярны или, как часто говорят, ортогональны.
2) Скалярное произведение векторов > 0, если они образуют острый угол ( ), скалярное произведение < 0, если они образуют тупой угол (
).
3) .
4)
.
5) .
6) или
.
Векторное произведение векторов
Векторным произведением векторов и
называется вектор, обозначаемый
или
и удовлетворяющий следующим условиям:
1) ;
2) ортогонален (перпендикулярен) и
, и
;
![]() |
3) Вектора ,
и
образуют правую тройку, т.е. кратчайший поворот от вектора
к вектору
и затем к вектору
совершается против часовой стрелки.
Свойства векторного произведения
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
5) Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма или удвоенной площади треугольника, построенного на векторах, входящих в векторное произведение.
Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов , обозначаемым
, называется скалярное произведение векторного произведения векторов
и
на вектор
:
=
.
Учитывая данные ранее определения скалярного и векторного произведений, можно выписать и более подробную формулу для вычисления смешанного произведения векторов:
.
![]() |
Если вектора привести к общему началу и построить на них параллелепипед (вектора
и
совпадают со сторонами основания, а вектор
с боковым ребром) или пирамиду, то модуль смешанного произведения векторов будет равен объему параллелепипеда
или шести объемам пирамиды
:
или
.
Напомним, что , где
, высота H определяется как проекция бокового ребра
на направление нормали к основанию, т.к. векторное произведение
совпадает с направлением нормали, то
.
Если вектора лежат в одной плоскости (компланарны), то ясно, что на них нельзя построить ни пирамиду, ни параллелепипед, поэтому смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.