Задания для самостоятельного решения
Комплексные числа
Блок №1
Определение комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел
и
, для которых введены понятия равенства и операции сложения и умножения:
если
,
.
Комплексные числа вида отождествляются с действительными числами
. Особую роль играет число
, которое называется мнимой единицей. Заметим, что
.
Каждое комплексное число можно представить в виде
. Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Число
называется действительной частью, а
– мнимой частью комплексного числа
. Для них приняты следующие обозначения:
. Комплексное число
называется сопряженным с комплексным числом
.
Вычитание и деление комплексных чисел являются действиями, обратными соответственно сложению и умножению:
Геометрическое изображение чисел
Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел определяет точку
на плоскости или вектор
. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Положение точки
на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами
, но и полярными координатами
, где
– длина вектора
, а
– угол между действительной осью и вектором
, отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Полярные и декартовы координаты связаны соотношениями
Операциям сложения и вычитания комплексных чисел можно поставить в соответствие операции над векторами:
Геометрический смысл разности двух комплексных чисел – это расстояние между точками и
:
.
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия:
1.Найти и
, если
а) б)
Решение. а) Перемножая почленно и учитывая, что получим:
Ответ.
б) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:
Ответ.
2.Найти и записать комплексное число
если
Решение. Выполнив операции над комплексными числами и используя условие
равенства двух комплексных чисел, получим:
Решаем систему:
Ответ.
3.Вычислить:
а) б)
Решение. а) Применяя формулу куба разности, получим:
Ответ.
б) Последовательно выполнив операции над комплексными числами,
получим:
Ответ.
4.Решить уравнение:
Решение. Находим дискриминант и пару комплексно-сопряженных корней уравнения:
Ответ.
5.Начертить в комплексной плоскости линию, заданную уравнением
Решение. Так как есть расстояние между точками
и
, то из равенства
следует, что точки линии удалены от точки
на расстояние,
равное 3, то есть данная линия – окружность радиуса 3 с центром (2,–1).
Ответ.
6.Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих заданным неравенствам:
а) б)
в)
г) д)
е)
Решение.
а) Неравенство означает, что расстояние от точки
до точек z меньше 2. Этому условию удовлетворяют точки круга с центром в точке
радиуса 2, исключая границу.
Ответ.
б) Неравенство означает, что расстояние от точки
до точек z должно быть не меньше 1. Искомое множество лежит вне круга с центром в точке
радиуса 1, включая границу.
Ответ.
в) Искомое множество должно удовлетворять двум неравенствам и
Первое неравенство определяет внешность круга, радиуса 1 с центром в точке (1,1), включая границу. Второе неравенство- круг радиуса 3 с центром в той же точке (1,1), исключая границу. Поэтому данное множество-кольцо с центром в точке (1,1), ограниченное окружностями радиусов
и
Ответ.
г) Равенство задает на плоскости множество точек с одинаковым аргументом, то есть луч, выходящий из начала координат под углом
к действительной оси.
Ответ.
д) Неравенство задает на плоскости угол, ограниченный двумя лучами, выходящими из начала координат под углами
и
к действительной оси.
Ответ.
е) Неравенство задает на плоскости множество точек, действительная часть которых не меньше 1. Это множество является полуплоскостью с границей, перпендикулярной действительной оси и проходящей через точку (1;0).
Ответ.
Задания для самостоятельного решения
1.Найти и записать комплексное число
если
Ответ.
2.Решить систему в комплексных числах:
Ответ.
3.Вычислить:
а)
б)
Ответ.
.
4.Решить уравнения:
а) б)
Ответ.
5.Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам.
а)
Ответ. Внутренность круга R = 5, центр О(3,4), границы не входят.
б)
Ответ. Внешность круга R = 2, центр О(5,–3), граница включается.
в)
Ответ. Кольцо между двумя окружностями радиусов и
, центр обеих лежит в О(–2,–1). Внешняя окружность не включает границу; внутренняя граница включается.
г)
Ответ. Полуокружность (граница включается).
Блок №2