Квадратное уравнение. Теорема Виета.
Квадратное уравнение
aх2+bх+c=0 (a, b, c Î R, a ¹ 0)
D=b2-4ac
· D>0 Þ $ x1¹x2ÎR (если дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня):
· D=0 Þ $ x1=x2ÎR (если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет два совпавших действительных корня):
· D<0 Þ  R – корней(если дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение не имеет действительных корней).
| Теорема Виета
· Пусть х1, х2 – корни неприведённого квадратного уравнения ах2+bх+c=0, тогда:
· Пусть х1, х2 – корни приведённого квадратного уравнения х2+bх+c=0, тогда:
– сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно третьему коэффициенту.
|
Задание 1. Решить уравнение (на множестве комплексных чисел) и проверить его корни подстановкой и по теореме Виета:
1)
| Проверка 1:
Проверка 2:
| 2)
| Проверка 1: Проверка 2: |
3)
х2+4х+5=0
D=16-20=-4 D<0 Þ R – корней, но существуют два сопряжённых комплексных корня
| Проверка 1: Проверка 2: | 4) х2-4х+5=0 | Проверка 1: Проверка 2: |
| 5) х2-6х+10=0 | Проверка 1: Проверка 2: | 6) х2+6х+10=0 | Проверка 1: Проверка 2: |
Задание 2. Произвести действия над комплексными числами в алгебраической форме:
z1=2-5i; z2=-3+i
1) z1+z2=z2+z1=(2-5i)+(-3+i)=
– коммутативность сложения;
2) z1-z2=-(z2-z1)=(2-5i)-(-3+i)=
– антикоммутативность вычитания или коммутативность сложения;
3) z1·z2=z2·z1=(2-5i)·(-3+i)=
– коммутативность умножения;
4) 
5) 
или 
| z1=-4+2i; z2=1-3i
1) z1+z2=z2+z1=
– коммутативность сложения;
2) z1-z2=-(z2-z1)=
– антикоммутативность вычитания или коммутативность сложения;
3) z1·z2=z2·z1=
– коммутативность умножения;
4) 
5) 
или
|
Задание 3.
1. произвести действия над комплексными числами в алгебраической форме;
2. представить комплексные числа в тригонометрической форме;
3. произвести действия над комплексными числами в тригонометрической форме;
4. сравнить полученные результаты:
z1=-2+2i; z2=1-i
| 1) z1+z2=z2+z1=
2) z1-z2=
3) z2-z1=
4) z1·z2=z2·z1=
5)
6)
| |
| Переведём комплексное число z1 из алгебраической формы в тригонометрическую:
z1=-2+2i; а1= ; b1= ;
Вычислим модуль r1 комплексного числа z1:
Вычислим аргумент[1] j1 комплексного числа z1(в данном случае не будем вычислять, а воспользуемся знаниями из тригонометрии – так как «угол поворота – имеет точное значение»:
|
| z1=-2+2i= | |
|
| Переведём комплексное число z1 из алгебраической формы в тригонометрическую:
z2=1-i; а2= ; b2= ;
Вычислим модуль r2 комплексного числа z2:
Вычислим аргумент j2 комплексного числа z2(в данном случае не будем вычислять, а воспользуемся знаниями из тригонометрии – так как «угол поворота – имеет точное значение»:
|
| z2=1-i= | |
| 1) z1+z2=z2+z1=
2) z1-z2=
3) z2-z1=
4) z1·z2=z2·z1=
5)
6)
|
z1=-2-2i; z2=4-4i
| 1) z1+z2=z2+z1=
2) z1-z2=
3) z2-z1=
4) z1·z2=z2·z1=
5)
6)
| |
|
| Переведём комплексное число z1 из алгебраической формы в тригонометрическую:
z1=-2-2i; а1= ; b1= ;
Вычислим модуль r1 комплексного числа z1:
Вычислим аргумент j1 комплексного числа z1(в данном случае не будем вычислять, а воспользуемся знаниями из тригонометрии – так как «угол поворота – имеет точное значение»:
|
| z1=-2-2i= | |
|
| Переведём комплексное число z1 из алгебраической формы в тригонометрическую:
z2=4-4i; а2= ; b2= ;
Вычислим модуль r2 комплексного числа z2:
Вычислим аргумент j2 комплексного числа z2(в данном случае не будем вычислять, а воспользуемся знаниями из тригонометрии – так как «угол поворота – имеет точное значение»:
|
| z2=4-4i= | |
| 1) z1+z2=z2+z1=
2) z1-z2=
3) z2-z1=
4) z1·z2=z2·z1=
5)
6)
|
Домашнее задание