Необходимые сведения из математики
Комплексные числа
Комплексными числами называются числа вида:
,
где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица (i2 = -1).
Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа:
Число 
называется комплексно сопряженным числу z.
Комплексное число может быть представлено точкой на плоскости xy (рис. 1.1).
Рисунок 1.1 – Геометрическое представление комплексного числа
Длина радиус-вектора точки, изображающей комплексное число на плоскости xy, называется модулем комплексного числа:
,
а угол φ между радиус-вектором и осью Ox – аргументом комплексного числа:
.
Видно, что:
Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
.
В математике доказывается соотношение:
, (1.1)
которое называется теоремой Эйлера.
Заменив φ на –φ, получим:
. (1.2)
Из (1.1) и (1.2) следует, что:
,
.
Используя теорему Эйлера, комплексное число можно записать в показательной форме:
Основные операции с комплексными числами:
Ряд Фурье. Интеграл Фурье
Пусть f(t) – действительная периодическая функция с периодом T, для которой существует интеграл 
. Тогда эту функцию можно представить в виде:
(1.3)
Представление (1.3) называется разложением в ряд Фурье.
Здесь:
- 
- циклическая частота основного тона (первой гармоники);
- 
- среднее значение f(t);
- члены ряда называются гармониками (n = 1 – первая гармоника или основной тон, n = 2, 3, … - обертоны).
Коэффициенты ряда определяются выражениями:
n-я гармоника имеет частоту 
амплитуду 
фазу 
Если функция f(t) непериодическая, то ее можно представить в виде интеграла Фурье:
(1.4)
1.2 Колебания и волны: основные понятия
Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени.
В зависимости от физической природы колебательного процесса различают механические и электромагнитные колебания. Система, в которой происходят колебания, называется колебательной системой.
Колебания называются свободными (собственными), если они происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему. Колебания называются вынужденными, если на систему оказывается периодическое внешнее воздействие.
Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих состояние колебательной системы и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Время, за которое в системе совершается одно полное колебание, называют периодом колебаний (T, с). Величина, равная числу полных колебаний за единицу времени, называется частотой колебаний (ν или f, Гц):
.
Циклической или круговой частотой называется величина ω, равная:
При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины s от времени t удовлетворяет условию:
.