Дифференциальное исчисление.
Основные понятия теории множеств. Функция, область её определения, способы задания. Сложные, обратные функции. Предел функции. Бесконечно малые функции, их свойства. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых, их эквивалентность. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва.
Производная, её смысл. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложных, неявных и параметрических функций. Дифференциал функции, его свойства. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Признаки монотонности функции, ее экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций.
Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл, его основные свойства. Таблица интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование дробно-рациональных, тригонометрических и иррациональных функций.
Интегральная сумма. Определенный интеграл, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
Функции комплексного переменного.
Комплексные числа, изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами.
Ряды.
Числовые ряды, сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения, Даламбера, Гаусса, радикальный признак Коши, интегральный признак). Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные ряды, область сходимости, методы её определения.Степенные ряды, действия над ними. Теорема Абеля о сходимости степенных рядов. Формулы для вычисления радиуса сходимости степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций у =sin x, cos x, ex, (1+x)m, ln (1+x), arctg x в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях (приближенное вычисление значений функций, определенных интегралов, приближенное решение дифференциальных уравнений). Тригонометрические ряды Фурье. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье.
Теория вероятностей.
Случайные события, алгебра событий. Относительная частота, статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности, задача о встрече. Формулы комбинаторики. Теоремы сложения. Независимые события, теоремы умножения. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число событий. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Случайные величины. Функция распределения (интегральный закон распределения). Плотность распределения (дифференциальный закон распределения). Математическое ожидание, его свойства. Дисперсия, ее свойства, среднее квадратическое отклонение. Основные примеры распределений случайных величин (биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, Пуассона, равномерное, показательное, нормальное). Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс. Распределения, связанные с нормальным. Многомерные случайные величины. Числовые характеристики системы случайных величин. Коэффициент корреляции. Законы больших чисел. Предельные теоремы.
Список учебной литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, в трёх томах. – М: Дрофа, 2003.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2006.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Том 1,2. – М.: Высшая школа, 2000.
4. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. –М.: Наука, 1974.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления Том 1,2.— М.: Наука, 1988.
7. Письменный Д. Г. Конспект лекций по высшей математике. Части I и II. – М: «Айрис Пресс» 2004 г.