Числовые последовательности.
§2.1. Предел последовательности
Рассмотрим функцию, у которой на аргумент наложены ограничения, те.е. аргумент принимает значения натурального ряда
, 
Df 1. Числовой последовательностью называется отображение из 
в 
: 
Множество 
- не обязательно бесконечно, но всегда счетно. Оно может состоять из одного элемента.
- постоянная последовательность
, 
Последовательность элементов будем обозначать через , а также будем говорить, что задана последовательность 
, 
Df 2. Элемент 
называется общим членом последовательности , а 
называются членами последовательности .
Df 3. Две последовательности и 
элементов из называются равными, если 
для 
.
Df 4.Последовательность 
элементов множества, определенная равенством 
, 
, называется последовательностью последовательности или частичной последовательностью.
Члены числовой последовательности могут быть изображены в виде точек числовой оси.
Пример.
§2.2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
Df 1. Пусть называется ограниченной сверху (справа), если существует такое число 
, что для всех элементов последовательности выполняется неравенство 
.
Df 2.Числовая последовательность называется ограниченной снизу (слева), если для всех элементов последовательности выполняется соотношение 
, т.е. 
имеет место неравенство .
Df 3.Числовая последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для всех членов последовательности выполняется соотношение 
, .
Пример.
Df 4.Числовая последовательность называется ограниченной, если 
, существует хотя бы один элемент последовательности удовлетворяющий неравенству: 
.
Пример.
Замечание. Если ограничена, то ограничена и сверху и снизу, т.е. 
.
§2.3. Предел последовательности.
Рассмотрим числовую прямую 
и в дальнейшем будем считать 
Df. Окрестностью 
(или 
, или 
) точки 
называется любой интервал 
, содержащий точку 
, т.е. 
.
Центрированной или «сферической» (с радиусом 
) окрестностью точки называется множество 
.
Заметим, любые окрестности 
и такие, что 
.
(На самом деле достаточно взять 
и 
, 
.)
Df .Если - окрестность точки , то проколотой окрестностью точки называется множество 
.
В частности, 
.
Df.Действительное число 
называется пределом числовой последовательности , если 
, можно указать такой номер 
зависящий от 
, что 
выполняется неравенство 
, и обозначается: 
или 
при 
.
Запишем это определение в логической символике: 
Неравенство , распишем следующим образом
