Электрондардың азғындалуы
Кезінде біз идеал газға Максвелл-Больцман статистикасын қолдандық. Бұл дұрыс па? Металдағы электрондарды сипаттау үшін қандай статистиканы колдануға болады? Осы сұрақтардың жауабы ретінде энергиясы 0-ден 
-ге дейінгі интервалдағы күйлердің жалпы санын табамыз. (3.13) интегралдап, аламыз:
Идеал газ молекуласы (бір атомды молекула) мен электрондар үшін 
. Сонда күйлердің жалпы саны:
(3.16)
(3.16) жазғанда 
және 
деп алдық).
Ұжымның азғындалмау критериі 
, мұндағы 
, 
– бөлшектер концентрациясы.
(3.17)
Ең жеңіл газ –сутегін алайық.
кг, қысым 
Па және бөлме температурасында 
К, 
м–3, 
Дж.
Осы мәндерді (3.17) қойсақ, онда аламыз 
. Металдағы электрондар үшін: 
кг, 
м–3, онда 
.
Шынында да, идеал газ Максвелл-Больцман (М-Б) статистикасына бағынады, ал металдағы электрондар азғындалған ұжым, ол Ферми-Дирак статистикасына бағынады.
Азғындалу температурасы
(3.17) теңдеуден көрініп тұрғандай, ұжымның азғындалмағанына жету үшін: 1) концентрацияны азайту және 2) температураны арттыру қажет. Электрондар үшін 
м–3 болғанда 
. Электрондардың аз концентрациясы меншікті және әлсіз легирленген жартылай өткізгіштерде кездеседі және оларды М-Б статистикасымен сипаттауға болады. Осындай жартылай өткізгіштер азғындалмаған деп аталады (бірақ та, мысалы туннельді диодтар күшті легирленген, азғындалған жартылай өткізгіштерден жасалады).
Одан төменгі температурада жүйе азғындалатын температура – азғындалу температурасы деп аталады. Ол мына теңдіктен табылады:
, осыдан
(3.18)
Электрондар үшін (спиндерін ескерсек):
; 
Þ 
. (3.19)
Металдағы электрондар үшін 
деп алсақ, онда 
(!).
Азғындалмаған газға арналған таралу функциясы. Максвелл-Больцман таралу функциясы
Азғындалмаған ұжымда классикалық (күй спектрі үзіліссіз) және кванттық (күй жиынтығы дискретті болатын) бөлшектер болуы мүмкін. Осындай бөлшектер классикалық физикадан жақсы таныс М-Б функциясымен сипатталады:
. (3.20)
-ді күй саны 
көбейтсек, онда толық таралу функциясын аламыз:
(3.21)
Қатты денелердің электрлік қасиеттеріндегі ең маңыздысы электрон болып табылады, енді ары қарай таралу функциясын спинді ескере отырып жазамыз.
3.3-суретте 
және 
шамаларының 
температураларында бөлшектер энергиясы 
-ге тәуелділік графиктері кескінделген.
 |
Суреттен көрініп тұрғандай, температура төмендеген сайын энергия мәндерінің шамалары аз бөлшектер саны шексіз түрде өседі. Абсолют нөл температурада барлық бөлшектер ең төменгі энергетикалық күйде орналасады.
-ға арналған өрнек аламыз. (3.21) теңдеуі концентрациясы 
-ге тең бөлшектер 
үшін мынаған тең болады:
(3.22)
Осы (3.22) энергияның барлық мәндері бойынша (0-ден 
дейін) интегралдасақ:
(3.23)
Осыдан 
-ді табуға болады:
(3.24)
(3.24)-ті (3.19)-ға қоямыз:
,
(3.25)
Осы түрдегі М-Б таралу функциясы нақты есептеулер жасауға ыңғайлы.