Вычислить пределы функций. Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью

а) Найти .

Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Функции и являются бесконечно большими. Поэтому, , .

Следовательно, имеем дело с неопределенностью вида .

Для раскрытия этой неопределенности и использовании теоремы о пределе отношения двух функций выделим в числителе и в знаменателе в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.

Ответ. 0.

Вычислить пределы функций.

а) Найти .

Решение.Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, а затем сократить дробь на общий множитель.

Ответ. .

Вычислить пределы функций.

а) Найти .

Решение.Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно выделить первый замечательный предел:

Ответ. k

б) Найти .

Решение. Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно произведение преобразовать в частное, то есть неопределенность свести к неопределенности или .

Выделяем первый замечательный предел, то есть, умножаем числитель и знаменатель на . Получаем,

.

Ответ. .

 

Вычислить пределы функций.

а) Найти .

Решение.Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел: .

Ответ. .

б) Найти

Решение.Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел: .

Ответ. .

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. Вычисление предела функции, раскрытие простейших неопределенностей.

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

научиться раскрывать неопределенность вида путем разложения на множители; научиться раскрывать неопределенность вида , вызванную присутствием корня; научиться вычислять пределы при , в том числе путем раскрытия неопределенностей вида и .

Методические указания к выполнению практической работы.

Теоретическая часть.

Раскрытие неопределенности вида

Теоретическая часть:

Способы разложения на множители:

1) Вынесение общего множителя за скобку:

2) Формулы сокращенного умножения:

  • Разность квадратов

3) Разложение квадратного трехчлена на множители:

, где корни квадратного уравнения

4) Способ группировки

  • Образовать группы, между ними знак «+»,
  • В каждой группе вынести общий множитель за скобки,
  • Найти и вынести за скобки общий множитель обеих групп, в результате получим произведение множителей.

 

Разбор решения одного варианта:

 

Решение:

подстановка предельного значения дает неопределенность вида .

Чтобы раскрыть эту неопределенность надо разложить числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель «х» за скобку, в знаменателе заметим, что применим формулу разность квадратов

сократим на множитель, приводящий к неопределенности, это х-15

подстановка дает

 

тогда

В числителе вынесем общий множитель «x» за скобки, причем заметим, что 121= , и применим формулу разность квадратов

А в знаменателе увидим формулу сокращенного умножения : квадрат первого , минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго

Сократим на множитель (х-11)

Подставив предельное значение

В числителе применим формулу разность кубов , а в знаменателе разложим квадратный трехчлен на множители

, тогда

сократим на и подставим , получим

в числителе разложим на множители способом группировки

А в знаменателе вынесем за скобки общий множитель «х»

А затем разложим квадратный трехчлен на множители:

сократим на и подставим

Раскрытие неопределенности вида

Теоретическая часть:

Сопряженными называются множители , причем их произведение дает формулу разность квадратов

Согласно свойств степени и корня:

Пример 1: =

Разбор решения одного варианта:

 

предел знаменателя дает

то имеет место неопределенность вида , которая вызвана присутствием корня. Раскроем неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженный множитель к числителю

применив в числителе формулу разность квадратов

имеем:

при возведении квадратного корня в квадрат корень исчезает

сократив на - множитель, приводящий к неопределенности и подставив предельное значение имеем

 

подстановка дает неопределенность вида , вызванную присутствием корня, поэтому умножаем на сопряженный множитель к числителю

применив в числителе, формулу разность квадратов

Посчитав, в числителе подобные, имеем

Сократим числитель и знаменатель на множитель x-15

подставим , тогда

подстановка предельного значения дает неопределенность вида , умножаем числитель и знаменатель на сопряженный множитель к знаменателю

в знаменателе формула разность квадратов

вынесем в числителе общий множитель «х» за скобку, а в знаменателе вычислим

сократим на и подставим имеем

умножаем на сопряженный к числителю, а затем в числителе применяем формулу разность квадратов :

в числителе квадратный трехчлен, разложим на множители по формуле:

, где

сократим на и подставим

Вычисление предела при .

Теоретическая часть:

  1. Предел бесконечно малой равен нулю.
  2. Если предел величины равен нулю, то эта величина есть бесконечно малая.
  3. Предел бесконечно большой величины равен бесконечности.
  4. Если - величина бесконечно малая, то обратная ей величина является бесконечно большой.
  5. Если - величина бесконечно большая, то обратная ей величина является бесконечно малой.
  6. Предел числа есть само число.
  7. Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

 

Разбор решения одного варианта:

         

первые два слагаемых пределов не имеют, поэтому имеет место неопределенность , чтобы её раскрыть, надо

вынести за скобку большую степень переменной, входящей в пример:

величины

предел числителя и предел знаменателя есть величины бесконечно большие имеет место неопределенность вида , раскроем её делением числителя и знаменателя на наибольшую степень переменной т.е. на и сократим, тогда

помня, что при , , имеем

делим каждое слагаемое на сократим

, , , имеем:

делим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, это :

, , , ,

тогда предел числителя равен 4, 0, т.е. в знаменателе бесконечно малая величина вся дробь есть величина бесконечно большая, т.е. = .

умножим на сопряженный

при , имеем , раскроем путем деления на , т.к. :

тогда: