СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение и свойства
Пусть даны два вектора и
.Тогда их скалярное произведение определяется из равенства
, где j - угол между этими векторами.
Если векторы заданы в координатной форме ,
, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
.
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
а) ;
б) если ^
(ортогональные вектора), то
= 0;
в) ;
г) ;
д) , где λ- любое число.
Примеры.
а) Найти скалярное произведение векторов = (2, 1, 1) и
= (2, -5, 1).
Из определения имеем =
.
б) Даны вектор = (m, 3, 4) и вектор
= (4, m, -7). При каких значениях m вектор
ортогонален вектору
?
Из условий ортогональности имеем: = 4m + 3m -28 = 0,
7m = 28, m = 4.
в) Найти , если
и
^
.
Из свойств скалярного произведения имеем: ,
т.к. ^
, тогда
г) Определить угол между векторами = (1, 2, 3) и
= (0, 4, -2).
Так как Из координатного представления векторов находим
0+8-6=2,
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Определение векторного произведения
Если вектора и
заданы в координатной форме
то их векторное произведение определяется по формуле:
,
где -орты осей координат Ox, Oy, Oz, соответственно:
Пример. Найдем векторное произведение векторов .
Из приведенной формулы имеем
Свойства векторного произведения
Отметим следующие свойства векторного произведения:
а)
;
б) , т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах
и
как на сторонах;
в) ;
г) , если либо
=
, либо
=
, либо вектора
и
коллинеарны;
д) , где λ –любое число;
е) .
Приведенные свойства позволяют решать многие задачи геометрии и векторного анализа.
Примеры.
а) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
= (3, 6, -2) и
= (-2, 3, 6).
Имеем
Тогда
б) Вычислим площадь треугольника с вершинами А(1, 1, 1), В(2, 3, 4), С(4, 3, 2).
На сторонах АВ и АС достроим треугольник до параллелограмма АВСD. Тогда Так как
то
Следовательно, , а
в) Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
+ 3
и 3
+
, если
а угол между векторами
и
равен p/6.
Заметим, что для любого вектора. Следовательно,
Итак, искомая площадь параллелограмма S=4.
г) Известно, что вектор ортогонален векторам
= (3, 2, 1) и
= (2, 3, 1), а |
| = 3. Найти вектор
.
Так как вектор ортогонален векторам
и,
то он коллинеарен вектору
. Имеем
Таким образом, Следовательно,
,
Итак, имеем два вектора, удовлетворяющих условиям задачи:
же удовлетворяет условию (1, -7, 2)=10.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Определение и свойства
Смешанным произведением трех векторов
называется число
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
а) , если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);
б)
г) объем параллелепипеда, построенного на векторах и
, равен
Примеры.
а) Найти смешанное произведение векторов =(5, 7, 2),
= (1, -1, 1),
= (2, 2, 1).
Из определения имеем
= -5 + 14 + 4 + 4 - 10 - 7 = 0, т.е. вектора
и
компланарны.
б) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2, 2, 2),
В(4, 3, 3), С(4, 5, 4), D(5, 5, 6).
Из свойств смешанного произведения заключаем, что искомый объем равен
в) Вычислим
Используя определение смешанного произведения и свойства векторного и скалярного произведений получаем
г) По координатам вершин пирамиды
найти: 1) длины ребер
и
2) угол между ребрами
и
3) площадь грани
4) объем пирамиды
Находим векторы и
Длины векторов, т.е. длины ребер и
, таковы:
Скалярное произведение векторов и
равно
а косинус угла между ними:
Отсюда следует, что - тупой угол, равный
(рад.) с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами
и
Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
и
, т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов:
Следовательно,
Объем пирамиды равен
объема параллелепипеда, построенного на векторах
,
,
. Вектор
Итак,
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ