Аналитическое сложение и вычитание двух векторов
Выберем декартову систему координат 
. В случае плоской задачи разложение векторов на их проекции (в одной и той же системе координат) позволяет легко сложить (вычесть) векторы аналитически.
Пусть заданы два вектора 
и 
(рис. 10.5, а), и пусть нам известны разложения двух векторов на их проекции:
;
;
Или 
Из графического суммирования хорошо видно, что проекции результирующего вектора равны, рис. 10.5, а:
,
здесь 
Модуль вектора вычисляется по теореме Пифагора, рис. 10.5, б:
,
а направление сектора 
вычисляется по направляющему косинусу:
Разность векторов 
и 
можно вычислить, воспользовавшись следующими формулами:
, здесь 
Пример 10.1.Заданы два вектора и : 
, 
, направления векторов относительно оси 
показаны на рис. 10.6. Сложить аналитически заданные векторы.
Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действий заданных векторов, рис. 10.7, а.
Спроецируем векторы и на декартовые оси координат и 
,
Имеем:
,
здесь 
, здесь 
Итак, имеем
,
здесь 
Модуль вектора вычислим по теореме Пифагора, рис. 10.7, б:
,
а направление сектора вычисляется по направляющему косинусу:
Результаты вычислений совпадают с результатами, полученными геометрическим построением векторов в примере 9.2.
Пример 10.2.Два мальчикакатают на тележке третьего мальчика. Первый мальчик катит тележку по горизонтали со скоростью 
, второй – под углом 
к горизонту со скоростью 
(рис. 10.8, а). Вычислить аналитически направление движения тележки.
Решение.Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действий заданных векторов, рис. 10.8, б.
Спроецируем векторы 
и 
на декартовые оси координат и , рис. 10.8, в:
Имеем:
, здесь 
,
здесь 
Итак,
,
здесь 
Модуль вектора 
вычислим по теореме Пифагора, рис. 10.8, г:
,
а направление сектора вычисляется по направляющему косинусу:
Пример 10.3.На пресс, сжимающий головку сыра, в точке О приложены две силы 
и 
(рис. 10.9, а). Вычислить модуль равнодействующей силы , сжимающей головку сыра, если вектор силы направлен вертикально. Дано: 
, 
, 
. Вычислить: 
и .
Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действий заданных векторов,
рис. 10.9, б.
Спроецируем векторы 
и 
на ось , рис. 10.9, в:
Так как по условию задачи равнодействующая направлена вертикально, то
, 
, 
,
следовательно,
Спроецируем векторы и на ось :
Модуль равнодействующей равен:
.
Сделаем проверку, построим силовой треугольник, рис. 10.9, г.
Аналитическое сложение трех векторов
Пусть заданы три вектора , и
(рис. 10.10), и пусть нам известны разложения трех векторов на их проекции:
; ; .
Из графического суммирования хорошо видно, что проекции результирующего вектора
,
Здесь
Разность векторов , и 
можно вычислить, воспользовавшись следующими формулами:
,
здесь
Пример 10.4. Вычислить равнодействующую системы сходящихся сил 
, 
, 
, приложенных в точку О (рис. 10.11), аналитически, если 
.
Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действия заданных векторов.
Рис. 10.11
| Вычислим проекции заданных векторов на оси :
|
Имеем:
, 
.
Радиус-вектор
Радиус-вектор вводится для описания движений любого объекта.
Выберем неподвижную точку 
и проведем через нее произвольно ось 
. Тогда положение точки на траектории, например 
, можно определить расстояние между точкой и точкой О, а также 
. Можно сказать, что величина и направление вектора 
изменяюся вместе с изменением абсолютного времени, т.е. скалярного параметра 
. Изменение длины фиксируетсямодулем вектора, а направление – углом 
. Функция 
называется радиус–вектором скалярного аргумента
(рис. 10.13) и обозначается.
.
Пусть точка движется по траектории
(рис. 10.13). Ее положение в момент времени 
определяется вектором 
, а в момент времени 
– 
. Тогда смешение точки за время 
определяется разностью
.
При изменении параметра конец вектора опишет некоторую кривую, называемую, называемую годографом (записыватель пути) вектора, т. е. траекторию.
Радиус–вектор 
можно разложить по базисным векторам 
, 
, 
прямоугольной пространственной системы координат (рис. 10.14):
,
причем компоненты 
являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.
Если t означает время, то фиксирует положение материальной точки в пространстве в любой момент времени, т.е. характеризует движение материальной точки, а годограф радиус-вектора соответствует траектории движения точки.
| 
|
| Рис. 10.14 | Рис. 10.15 |
Пусть точка движется в плоскости 
. Совместим с точкой начало плоской декартовой системы, а ось с осью (рис. 10.15). В плоской декартовой системе координат радиус–вектор 
раскладывается по базисным векторам , так
.
Причем, компоненты
являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.