Аналитическое сложение и вычитание двух векторов
Выберем декартову систему координат . В случае плоской задачи разложение векторов на их проекции (в одной и той же системе координат) позволяет легко сложить (вычесть) векторы аналитически.
Пусть заданы два вектора и
(рис. 10.5, а), и пусть нам известны разложения двух векторов на их проекции:
;
;
Или
Из графического суммирования хорошо видно, что проекции результирующего вектора равны, рис. 10.5, а:
,
здесь
Модуль вектора вычисляется по теореме Пифагора, рис. 10.5, б:
,
а направление сектора вычисляется по направляющему косинусу:
Разность векторов и
можно вычислить, воспользовавшись следующими формулами:
, здесь
Пример 10.1.Заданы два вектора и
:
,
, направления векторов относительно оси
показаны на рис. 10.6. Сложить аналитически заданные векторы.
Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действий заданных векторов, рис. 10.7, а.
Спроецируем векторы
и
на декартовые оси координат
и
,
Имеем:
,
здесь
, здесь
Итак, имеем
,
здесь
Модуль вектора вычислим по теореме Пифагора, рис. 10.7, б:
,
а направление сектора вычисляется по направляющему косинусу:
Результаты вычислений совпадают с результатами, полученными геометрическим построением векторов в примере 9.2.
Пример 10.2.Два мальчикакатают на тележке третьего мальчика. Первый мальчик катит тележку по горизонтали со скоростью
, второй – под углом
к горизонту со скоростью
(рис. 10.8, а). Вычислить аналитически направление движения тележки.
Решение.Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действий заданных векторов, рис. 10.8, б.
Спроецируем векторы и
на декартовые оси координат
и
, рис. 10.8, в:
Имеем:
, здесь
,
здесь
Итак,
,
здесь
Модуль вектора вычислим по теореме Пифагора, рис. 10.8, г:
,
а направление сектора
вычисляется по направляющему косинусу:
Пример 10.3.На пресс, сжимающий головку сыра, в точке О приложены две силы и
(рис. 10.9, а). Вычислить модуль равнодействующей силы
, сжимающей головку сыра, если вектор силы
направлен вертикально. Дано:
,
,
. Вычислить:
и
.
Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действий заданных векторов,
рис. 10.9, б.
Спроецируем векторы и
на ось
, рис. 10.9, в:
Так как по условию задачи равнодействующая направлена вертикально, то
,
,
,
следовательно,
Спроецируем векторы и
на ось
:
Модуль равнодействующей равен:
.
Сделаем проверку, построим силовой треугольник, рис. 10.9, г.
Аналитическое сложение трех векторов
Пусть заданы три вектора ,
и
(рис. 10.10), и пусть нам известны разложения трех векторов на их проекции:
; ; .
Из графического суммирования хорошо видно, что проекции результирующего вектора
,
Здесь
Разность векторов ,
и
можно вычислить, воспользовавшись следующими формулами:
,
здесь
Пример 10.4. Вычислить равнодействующую системы сходящихся сил ,
,
, приложенных в точку О (рис. 10.11), аналитически, если
.
Решение. Совместим прямоугольную систему координат с точкой пересечения линий действия заданных векторов.
![]() | Вычислим проекции заданных векторов на оси ![]() ![]() ![]() |
Имеем:
,
.
Радиус-вектор
Радиус-вектор вводится для описания движений любого объекта.
Выберем неподвижную точку
и проведем через нее произвольно ось
. Тогда положение точки на траектории, например
, можно определить расстояние между точкой
и точкой О, а также
. Можно сказать, что величина и направление вектора
изменяюся вместе с изменением абсолютного времени, т.е. скалярного параметра
. Изменение длины фиксируетсямодулем вектора, а направление – углом
. Функция
называется радиус–вектором скалярного аргумента
(рис. 10.13) и обозначается.
.
Пусть точка движется по траектории
(рис. 10.13). Ее положение в момент времени определяется вектором
, а в момент времени
–
. Тогда смешение точки за время
определяется разностью
.
При изменении параметра конец вектора
опишет некоторую кривую, называемую, называемую годографом (записыватель пути) вектора, т. е. траекторию.
Радиус–вектор можно разложить по базисным векторам
,
,
прямоугольной пространственной системы координат (рис. 10.14):
,
причем компоненты
являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.
Если t означает время, то фиксирует положение материальной точки в пространстве в любой момент времени, т.е. характеризует движение материальной точки, а годограф радиус-вектора соответствует траектории движения точки.
![]() | ![]() |
Рис. 10.14 | Рис. 10.15 |
Пусть точка движется в плоскости . Совместим с точкой
начало плоской декартовой системы, а ось
с осью
(рис. 10.15). В плоской декартовой системе координат радиус–вектор
раскладывается по базисным векторам
,
так
.
Причем, компоненты
являются координатами точки А в прямоугольной системе координат.