Примеры решения задач контрольной работы
Пример 1.Решить уравнение
Решение. Выразим из уравнения
Получили однородное уравнение. Делаем замену
– уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
Возвращаясь к старой переменной у, получаем:
Ответ:
Пример 2. Найти решение задачи Коши
Решение. Разделим обе части уравнения на x: Получили линейное уравнение.
Решаем уравнение:
Разделяем переменные:
Интегрируем обе части:
Пользуясь свойствами логарифма, получаем (Мы ввели новую константу С1, связанную со старой следующим образом: С = lnC1). Считая С1 функцией от x, подставляем в полученное линейное уравнение
и
Отсюда находим C1 = sin x + B, где B – константа.
Используя начальные условия, найдём константу В.
Ответ:
Пример 3.Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям: ,
Решение. Дано ЛНДУ II порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Решение уравнения ищем в виде
а) Найдем :
Его характеристическое уравнение ;
Значит
б) ищем, используя метод неопределённых коэффициентов
,
,
.
Подставив , в исходное уравнение, получаем
Чтобы найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, продифференцируем
Подставим в и
вместо x = 0,
= 0,
= 1.
Подставим найденные и
в
:
.
Ответ: .
Пример 4.Дан степенной ряд . Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.
Решение:
Найдём радиус сходимости:
Интервал сходимости:
Рассмотрим концы интервала:
при получим ряд
, следовательно (по признаку сравнения) ряд расходится.
при получим ряд
, это знакочередующийся ряд. Проверим выполнение условий признака Лейбница:
1)
2) т.е.
Условия выполнены, значит ряд сходится.
Ответ: Ряд сходится при
Пример 5.Найти четыре члена разложения функции в ряд Маклорена.
Решение. Используем известное разложение
область сходимости –1 < x £ 1.
Итак:
область сходимости
Пример 6. В группе 18 студентов из которых, из которых 8 имеют задолженность по математическому анализу. Какова вероятность того, что из 10 произвольно выбранных студентов 3 человек имеют задолженность?
Решение. Такие задачи описываются общей схемой. Имеется совокупность из N1 элементов первого вида и N2 элементов второго вида. Какова вероятность того, что при выборе совокупности из k элементов она состоит из k1 элементов первого вида и k2 элементов второго вида, где k = k1 + k2, k1 £ N1, k2 £ N2.
Пример 7.Предполагаем, что рост призывника – нормально распределенная случайная величина Х, с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением s . В специальную команду нужно отобрать призывников ростом от х1 до х2 сантиметров. Определить: а) вероятность того, что наудачу взятый призывник попадёт в специальную команду; б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х–а окажется меньше d; в) по правилу трех сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемого роста призывника.
а | s | х1 | х2 | d |
Решение. а) Для нормально распределённой случайной величины
б)
с) По правилу трёх сигм наименьшая граница , наибольшая
. Таким образом,
.
Наименьшая граница 150 см, наибольшая 210 см.
Пример 8.Задан закон распределения дискретной случайной величины. Найти:
1) значение параметра а;
2) математическое ожидание М(Х);
3) дисперсию D(Х).
Построить многоугольник распределения.
Х | |||||
р | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | а |
Решение.
1)
2)
3)
4) многоугольник распределения:
Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения.
Требуется:
1) найти функцию плотности вероятности f(x);
2) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;
3) построить графики функций F(x) и f(x).
Решение:
1) ,
2) Найдём М(X) по формуле .
.
Дисперсию вычисляем по формуле
.
3) Построим графики функций и
.
Пример 10.Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (Х, Y) задан таблицей.
Y | ||||
X | ||||
1/18 | 1/12 | 1/36 | ||
1/9 | 1/6 | 1/18 | ||
1/6 | 1/4 | 1/12 |
Найти:
1) частные законы распределения случайных величин Х и Y;
2) математические ожидания М(Х) и М(Y);
3) дисперсии D(Х) и D(Y);
4) корреляционный момент Cxy;
5) коэффициент корреляции rxy;
6) условный закон распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина Y принимает своё наименьшее значение.
Решение:
1) частный закон распределения случайной величины Х:
проверка: верно.
хi | |||
pi | 1/6 | 1/3 | 1/2 |
частный закон распределения случайной величины Y:
проверка: верно.
yi | |||
pi | 1/3 | 1/2 | 1/6 |
2) Математические ожидания случайных величин X и Y:
3) Дисперсии D(Х) и D(Y):
,
.
4) Корреляционный момент Cxy:
.
5) коэффициент корреляции где
– среднеквадратические отклонения.
Так как у нас то и
6) условный закон распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина Y принимает своё наименьшее значение.
Наименьшее значение при этом
По формуле находим:
Условный закон распределения
![]() | |||
pi | 1/6 | 1/3 | 1/2 |
Вопросы к экзамену
1. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним, линейные, Бернулли.
2. Уравнения, допускающие понижение порядка.
3. Определитель Вронского. Свойства линейных однородных уравнений.
4. Структура общего решения линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
5. Неоднородное линейное уравнение второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных.
6. Частное решение неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.