Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов
Определение 1
Число, равное произведению длин двух векторов на косинус угла между ними называется скалярным произведением этих векторов. Для векторов и
их скалярное произведение обозначается (
,
), или
.
.
Таким образом, по определению
.
= |
|.|
|cos
.
Скалярное произведение обладаетсвойствами:
1. .
=
.
;
2. .(
+`с) =
.
+
;
3. .
= |
|2 =
2 – скалярный квадрат; отсюда
;
4. l .
= (l
).
=
.(l
);
5. .
= 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой, либо когда векторы
и
ортогональны;
6. . Пользуясь этим свойством, получим
.
Заметим, что для ортонормированного базиса {`i,`j,`k } пространства V3 справедливы следующие соотношения
,
.
Пусть в ДПСК, порожденной репером [O,`i,`j,`k], заданы два вектора
и
.
Используя перечисленные свойства скалярного произведения, получим для этих векторов:
.
=
.
=
+ =
= .
Таким образом, если векторы заданы своими координатами в ДПСК, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
.
=
.
Пользуясь этим правилом, можно записать в координатной форме
| | = (
.
) =
,
=
.
Учитывая эти формулы и следствие из свойства 6, находим:
,
т.е. в ДПСК координаты вектора равны его проекциям на соответствующие оси координат.
Для направляющих косинусов вектора `а имеем
,
,
.
Рассмотрим орт `ао вектора `а. Учитывая координаты вектора `а, находим
`ао = .
Следовательно, направляющие косинусы вектора равны координатам его орта и наоборот, т.е. можно записать `ао = (cosa, cosb, cosg).
Определение 2
Упорядоченная тройка векторов `а,`b,`c , совмещенных началами, называется правой тройкой, если из конца третьего вектора`с кратчайший поворот от первого вектора`а ко второму вектору`b виден осуществляющимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой
. На рис.8а изображена правая тройка векторов, а на рис.7б – левая.
![]() |
ДПСК, которой мы договорились пользоваться, строится на основе правой тройки (`i,`j,`k).
Определение 3
Векторным произведением векторов `а и `b называется вектор`v , удовлетворяющий свойствам:
а) | |= |
|.|
|.sin
,
б) вектор`v перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и
;
в) векторы ,
,`v, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку
Векторное произведение обозначается ´
или [
,
]. Векторное произведение обладает свойствами:
1) ,
2) ,
3) = l(
) =
,
4) =`0 (
¹`0,
¹`0) тогда и только тогда, когда векторы
и
коллинеарные. В частности,
.
Для базисных векторов `i,`j,`k имеют место соотношения:
.
Пусть векторы заданы своими координатами:
и
.
Используя перечисленные свойства, получим
=
´
=
+ =
=
=
= .
Таким образом, через координаты перемножаемых векторов `a = (ax, ay, az) и `b = (bx, by, bz) векторное произведение может быть записано в виде символического определителя
.
или в виде координатной строки
´
=
.
Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенный на векторах`а и`b как на сторонах (рис. 9). Площадь этого параллелограмма равна
Sпар. = |AB|.|AD|.sinj = | |.|
|.sinj = |
´
|.
Таким образом, с геометрической точки зрения, модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Определение 4.
Смешанным произведением векторов`а,`b,`с называется скалярное произведение вектора ´
на вектор `с. Обозначается смешанное произведение
.
.
или
.
Таким образом, по определению, смешанное произведение трех векторов – это число, равное
.
.
= (
´
,`с).
Свойствасмешанного произведения:
1) .
.
=
.
.
=
.
.
, т.е. при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется;
2) .
.
= –
.
.
= –
.
.
= –
.
.
, т.е. смешанное произведение меняет знак при перестановке соседних множителей;
3) .
.
= 0 (
¹`0,
¹`0,
¹`0) тогда и только тогда, когда векторы `a,`b,`c компланарные.
Если векторы `a,`b,`c заданы своими координатами:
`a = ( аx , ay , az), `b = (bx , by , bz), `с = ( сx , сy , сz),
то, используя координатную форму скалярного и векторного произведений, получим
.
.
= (
´
,`с) =
.( сx , сy , сz) =
=
Следовательно, в координатной форме смешанное произведение имеет вид
.
.
=
.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию смешанного произведения. Построим на векторах `а,`b,`с как на ребрах параллелепипед (рис.9).
Объем этого параллелепипеда равен V = Sосн..Н . Но Sосн = | ´
|,а высота Н равна Н =
. Тогда
V = = |(
´
,`с)| = = |
.
.
|.
Таким образом, если векторы`а, `b, `с – некомпланарные, то объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен
V = |`a .`b .`c |,
то есть абсолютной величине смешанного произведения этих векторов.
Наряду со смешанным произведением трех векторов, можно рассмотреть и произведение вида ´(
´`с) – такое произведение называется двойным векторным произведением.
Двойное векторное произведение обладает свойством, которое связывает векторное произведение со скалярным произведением и произведением вектора на число:
´(
´`с) = (
.
)
–(
.
)
.
*) Совокупность п чисел вида (х1, х2, …, хп) называют числовой строкой длины п. По сути числовая строка длины п – это матрица-строка размерности п´1. Поэтому над числовыми строками можно определить операции сложения и умножения на число так, как были определены эти операции для матриц. Множество всевозможных числовых строк длины п является линейным пространством размерности п и это пространство называется координатным пространством (или арифметическим пространством строк) и обозначается Rn.