П.1 Умножение вектора на число.
Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними. Линейная зависимость и независимость векторов. Скалярное произведение векторов.
§ 5.1 Векторы: основные понятия.
В математике и ее приложениях различают два типа величин: скалярные и векторные.
Определение 5.1 Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, масса тела, объем и др.
Другие величины, такие как скорость, ускорение, представляют собой величины, задание которых имеет смысл только тогда, когда кроме их численных значений указывается и их направление в пространстве. Такие величины называются векторными.
Определение 5.2 Направленный отрезок или упорядоченная пара точек, называется вектором.
Основные понятия:
Вектор с началом А и концом В будем обозначать . Часто вектор обозначается одной буквой
,
и т.д. Если отрезок АВ соответствует вектору
, то будем писать
=
.
Вектор называется противоположным вектору
и обозначается
.
Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым, а при несовпадении этих точек – ненулевым.
Длиной вектора
или его модулем называется длина
соответствующего направленного отрезка. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным или ортом.
Вектор =
называется параллельным прямой l (плоскости P), если либо он нулевой, либо прямая, проходящая через точки A и B, параллельна прямой l (плоскости P). Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными, а векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, – компланарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления.
Два вектора и
называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Равенство векторов
и
записывают так:
=
.
Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно перемещать в любую точку пространства.
Линейные операции над векторами.
П.1 Умножение вектора на число.
Определение 5.3 Произведением вектора на число
называется вектор
, имеющий направление вектора
, если
, и противоположное направление, если
. Длина этого вектора равна произведению длины вектора
на модуль числа
.
Из определения следует, что вектор коллинеарен вектору
. Результат умножения вектора
на число
записывается равенством
.
Свойства произведения вектора на число:
1) для любых чисел и
и любого вектора
справедливо равенство
;
2) если вектор , то для любого коллинеарного ему вектора
существует, и при этом только одно, число
, удовлетворяющее равенству
.