Позиционные и метрические задачи

 

Под позиционными задачами следует понимать определение взаимного положения элементов: параллельны, пересекаются, принадлежат, не имеют общих точек и т.д.

Под метрическими задачами следует понимать измерение расстояний и углов между элементами, а также определение внутренних размеров элементов: длин, углов, площадей и т.д.

 

Пример: Построить прямую f, которая пересекает прямые m, n, e (рис. 41).

 

47

Если 3 точки принадлежат одной прямой, то они лежат в одной плоскости. Составим систему уравнений:

D(e ,R) - плоскость, заданная одной из прямых e и произвольной точкой R

n - вторая заданная прямая

m - третья заданная прямая

 

Для решения этой системы составим 2 системы уравнений:

 

D(e ,R) Решив систему, определим точку В, которая будет принадлежать

n прямой f .

 

D(e ,R) Решив систему, определим точку A, которая будет принадлежать

m прямой f .

 

Точки А и В определят прямую f , после чего останется решить систему:

 

f (А,В) После решения этой системы уравнений определим точку С,

e в которой прямая f пересекает прямую e.

 

Графическое решение задачи:

- Точку R(R1,R2) взяли исходя из условия, что проекции прямых m и n пересекают проекцию плоскости D(RGQ). Точки G(G1, G2) и Q(Q1, Q2) на прямой е взяли произвольно.

- Известным способом нашли точку пересечения А(А1,А2) прямой m(m1, m2) с плоскостью D(RGQ) (в плоскости D(RGQ) взяли прямую d, фронтальная проекця d2 которой совпадает с фронтальной проек-цией m2, пересечение горизонталь-ных проекций определит горизон-тальную проекцию А1, А2 - на пересечении линии связи с m2).

- Тем же способом определили точку пересечения В(В1,В2) прямой

Рис. 41 n(n1, n2) с плоскостью D(RGQ).

 

- Две точки А и В задают прямую f(f1,f2). f1(А1, В1), f2(А2,В2).

- Прямые f и е расположены в плоскости D и пересекаются в точке С(С1,С2).

 

 
 

Пример: Через точку А провести отрезок АВ длиной 40 мм, который перпендикулярен прямой t и наклонен к плоскости П1 под углом 25° (рис. 42)

Рис.42

 

Отрезок АВ принадлежит плоскости D, которая проходит через точку А и перпендикулярна прямой t. Такую плоскость можно задать пересекающимися в точке А прямыми h(h1^t1, h2÷÷ Х12) перпендикулярна t(t1, t2) и f(f1÷÷ Х12, f 2 ^ t2 ) перпендикулярна t(t1, t2).

Далее следует выяснить максимальный угол наклона прямых плоскости D к П1. Он равен углу наклона плоскости D к плоскости П1. Если amax > 25°, то отрезок АВ в плоскости D можно построить.

В положении 1 изменен угол b плоскости D( h, f ) до 90°, т.к. h ^ П2 (h11 перпендикулярна оси Х12 , Н12 – точка . Угол a плоскости D равен

 

56,8° больше 25°, следовательно, условие задачи можно выполнить.

Далее через точку А1 построим отрезок А1В1(А11В11, А12В12) c углами b=0, a=25° и длиной 40 мм. Этот отрезок не принадлежит плоскости D, поэтому следует ввести точку В в плоскость без изменения координаты Z, для чего повернем ее вокруг оси iZ ^ П1 (см. рис. 3, iZ проходит через А1). Горизонтальная проекция траектории точки В1 - окружность r1 радиусом R=А11В11. Фронтальная проекция дуги r2 - прямая Z = Z В.

Если точка В2 принадлежит плоскости D, то ее фронтальная проекция В22 принадлежит ее фронтальному следу D2, т. к. D ^ П2. Горизонтальная проекция В21 точки будет лежать на горизонтальной проекции дуги r1 и линии связи из В22 к оси Х.

Остается вернуть отрезок АВ в исходное положение:

- В положении 1 в плоскости D( h, f ) провели прямую 12, пересекающую прямую А1В2 в точке 3. Сначала построена горизонтальная проекция 111211 и определена горизонтальная проекция 311 точки пересечения горизонтальных проекций прямых А1В2 и 1121.

- Построена фронтальная проекция 112212 и определена фронтальная проекция 312 точки 3.

- Определена фронтальная проекция 1222 прямой (12 расположена на f 2 и на линии связи к оси Z, 22 – на h2 и на линии связи к оси Z ) и фронтальная проекция точки 32 (312 находится на пересечении 1222 и линии связи к оси Z).

- Определена горизонтальная проекция прямой 12 (11 расположена на f1 и на линии связи к оси Х, 21 – на h1 и на линии связи к оси Х ).

- Горизонтальная проекция точки 31 находится на пересечении 1121 и линии связи к оси Х).

- Фронтальная проекция В2 находится на пересечении на пересечении линии связи к оси Z через В22 с продолжением фронтальной проекции прямой А232. Горизонтальная проекция В1 расположена в точке пересечения линии связи к оси Х через В2 с продолжением горизонтальной проекции прямой А131.

Отрезок АВ перпендикулярен прямой t, наклонен к плоскости П1 под углом 25° и имеет длину 40 мм.

 

Если проанализировать решение позиционной задачи 1 и позиционно-метрической задачи 2, то легко обнаружить общий подход к решению любой задачи. Он не отличается от известных математических методов решения систем уравнений, которые предполагают выражение одних неизвестных через другие и сокращение таким образом числа уравнений в системе.

 

 

 

Изменять положение объекта в пространстве можно другими способами преобразования чертежа.

На рис.30 определен угол j между фронтальным и горизонтальным следами плоскости D методом вращения вокруг линии уровня.

Линия уровня - прямая, параллельная одной из плоскостей проекций.

В данном случае вращение плоскости D до положения, параллельного П1, выполнено вокруг прямой D1, уравнение которой Z=0. Поскольку D1 Ì П1, то D будет совмещена с плоскостью П1.

Центр вращения О точки А, принадлежащей D2, находится на перпендикуляре АО, опущенном из А к оси D1. На основании (9) А1О1 ^ (D1)1=D1. О2 находится на (D1)2 = Х12 и линии связи к оси Х из О1.

Рис.30 Если угол a наклона плоскости равен 0, то АП1О1= êАО ê. Для определения êАО ê изменена координата Z точки А до 0. Дугой f отложен отрезок О2А12 = О2А2. Дугой t отложен отрезок АП1О1 = О1А11 = êАО ê. АП1 - совмещенное с плоскостью П1 положение точки А. DП12 - совмещенное с плоскостью П1 положение следа D2. Угол j = (DП12)Ù( D1 ).

Выше изменение углов наклона объектов к плоскостям проекций выполнено вращением самих объектов.

Те же операции можно выполнять изменением положения плоскостей проекций - методом замены плоскостей проекций.

Такой метод предполагает ввод дополнительных плоскостей проекций, перпендикулярных одной из уже существующих на чертеже и расположенных под определенным углом к объекту.

Если принять, что все нечетные плоскости за исключением 3-ей - горизонтальные, все четные плоскости - фронтальные, 3-я плоскость - профильная, то координаты X, Y, Z определяются в соответствии с равенствами (5).

На рис. 31 определены угол наклона треугольника к плоскости П1 a и его натуральная величина.

Для определения угла a введена дополнительная фронтальная плоскость П4, которая ^ П1 и (АВС). Ось x14 = П1 Ç П4. Она проведена ^ прямой АD, которая параллельна П1. Следовательно, на основании (10) A1D1 ^ x14. Поскольку координаты Z точек А, В, С не изменялись, т.е. горизонтальная плоскость П1 и треугольник АВС не меняли взаимного положения, то проекции точек А, В, С на плоскость П4 расположены на линиях связи к оси x14 и удалены от последней на величину прежних координат Z, т.е. çx14A4ç=ç x12A2ç, ç x14B4ç=ç x12B2ç, ç x14C4ç=ç x12C2ç.

В новой системе координат, заданной плоскостями П1 Ç П4, YA = ç x14A1ç, YB = ç x14B1ç, YC = ç x14C1ç.

Проекция треугольника (А4 В4 С4) - линия пересечения (АВС) с плоскостью проекций П4.

Угол наклона треугольника (АВС) к плоскости проекций П1 a = x14 Ù(А4В4С4).

Для определения натуральной величины треугольника (АВС) введена дополнительная горизонтальная плоскость П5 ^ П4 и параллельная (АВС). Ось x45 параллельна (А4В4С4), т.е. координаты Z точек А, В и С равны ZA=çx 45A4ç, ZВ=çx 45В4ç, ZС=çx45С4ç.

Положение треугольника (АВС) по отношению к плоскости П4 не изменилось. Следовательно, горизонтальные проекции точек А5, В5, С5 расположены на линиях связи к оси x45, проходящих через фронтальные проекции А4, В4, С4, и удалены от оси x45 на величину предыдущих координат Y:

 

ç x14A1ç=ç x45A5ç, ç x14B1ç=ç x45B5ç, ç x14C1ç=ç x45C5ç.

Проекция (А5В5С5) = çАВСç.

Рис. 31

 

Способ замены плоскостей проекций прост для понимания и удобен при ручном исполнении чертежа, но в машинном исполнении потребуется оператор преобразования осей координат, который отсутствует в большинстве графических пакетов.

Если проанализировать решение позиционной задачи 1 и позиционно-метрической задачи 2, то легко обнаружить общий подход к решению любой задачи. Он не отличается от известных математических методов решения систем уравнений, которые предполагают выражение одних неизвестных через другие и сокращение таким образом числа уравнений в системе.