Практическое занятие. Тема. Линейные операторы, действия над ними. Собственные числа и векторы матриц. Приведение матрицы к диагональному виду.

Операторомв (преобразованием пространства ) называется закон, по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор , и пишут Оператор называется линейным, если для любых векторов и действительных чисел выполнено условие: .

Если - базис , томатрицей линейного оператора в базисе называется квадратная матрица порядка , столбцами которой являются столбцы координат векторов . Каноническим базисом называется базис , где , , -единичные векторы. Между линейными операторами, действующими в и квадратными матрицами порядка , существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет оператор представлять в матричном виде , где - матрицы-столбцы координат векторов , - матрица оператора в базисе .

Для линейных операторов вводятся операции: 1) сложение операторов: ; 2) умножение оператора на число: ; 3) умножение операторов: . Обратнымк оператору называется оператор такой, что , где - единичный(тождественный) оператор, реализующий отображение . Обратный оператор существует только для невырожденных операторов (операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.

Пусть число и вектор , , таковы, что выполняются равенства: или . Тогда число называется собственным числом линейного оператора (матрицы ), а вектор - собственным вектором оператора (матрицы), соответствующим собственному числу . Равенство может быть записано и в виде , где - единичная матрица порядка , - матрица-столбец координат собственного вектора , соответствующего собственному числу , - нулевая матрица-столбец. Характеристическим уравнением оператора (матрицы ) называется уравнение: .

Множество собственных чисел оператора (матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: .

Если квадратная матрица порядка имеет собственные числа кратности , где , то она приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда выполнены условия: ( ). Если нарушается хотя бы одно из условий, то матрица к диагональному виду неприводима. В диагональной матрице на главной диагонали стоят собственные числа матрицы .

В задачах 1.134-1.138 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов в себя являются линейными операторами, и выписать их матрицы в каноническом базисе.