Характеристика основных типов комбинированных вероятностно-детерминированных математических моделей
Вероятностно-детерминированные математические прогнозирующие модели графиков энергетических нагрузок являются комбинацией статистических и детерминированных моделей. Именно эти модели позволяют обеспечить наилучшую точность прогнозирования, адаптивность к изменяющемуся процессу электропотребления [2, 5, 6].
Они базируются на концепции стандартизованного моделирования нагрузки [6], т.е. аддитивной декомпозиции фактической нагрузки 
на стандартизованный график (базовой составляющей, детерминированного тренда) 
и остаточную составляющую 
[2, 76 – 81]:
,
где t – время внутри суток; d – номер суток, например, в году.
В стандартной составляющей 
при моделировании также осуществляют аддитивное выделение отдельных составляющих, учитывающих [6]: изменение средней сезонной нагрузки 
; недельную цикличность изменения электропотребления 
; трендовую составляющую, моделирующую дополнительные эффекты, связанные с изменением времени восхода и захода солнца от сезона к сезону 
; составляющую, учитывающую зависимость электропотребления от метеофакторов 
, в частности температуры и т.п.
Рассмотрим подробнее подходы моделирования отдельных составляющих на основе упомянутых выше детерминированных и статистических моделей [6].
Моделирование средней сезонной нагрузки 
зачастую осуществляют с использованием простого скользящего усреднения [80, 84, 85, 87, 89]:
где N – число обычных регулярных (рабочих дней), содержащихся в n прошедших неделях. 
, так как из недель исключаются «специальные», «нерегулярные дни», праздники и т.п. Осуществляется ежедневное обновление путем усреднения данных за n прошедших недель.
Моделирование недельной цикличности 
также осуществляют скользящим усреднением вида [80,84]
с обновлением еженедельно путем усреднения данных за n прошедших недель, либо используя экспоненциально взвешенное скользящее среднее [85, 87, 89]:
,
где 
– эмпирически определяемый параметр сглаживания ( 
).
В работе [81] для моделирования 
и 
используется семь составляющих 
, 
для каждого дня недели, причем каждое 
определяется отдельно с использованием модели экспоненциального сглаживания.
Авторы работы [96] для моделирования 
используют двойное экспоненциальное сглаживание типа Холта – Винтерса. В работе [97] для моделирования 
используют гармоническое представление вида
,
с параметрами 
, оцениваемыми по эмпирическим данным (значение «52» определяет число недель в году). Однако задача адаптивного оперативного оценивания этих параметров в указанной работе не решена полностью.
Моделирование 
, 
в ряде случаев осуществляют с помощью конечных рядов Фурье: с недельным периодом [81], с суточным периодом [88, 98], либо с раздельным моделированием рабочих и выходных дней соответственно с периодами пять и двое суток [79]:
.
Для моделирования трендовой составляющей 
используют либо полиномы 2-го – 4-го порядков [80], либо различные нелинейные эмпирические функции, например, вида [85]:
,
где 
– полином четвертой степени, описывающий относительно медленные сглаженные изменения нагрузки 
в дневные часы по сезонам; 
, 
, 
– функции моделирующие эффекты, связанные с изменением времени восхода и захода солнца по сезонам.
Для учета зависимости электропотребления от метеофакторов в ряде случаев вводят дополнительную составляющую 
[80, 89]. В работе [89] теоретически обосновывается включение 
в модель, но возможности моделирования температурного эффекта при этом рассматриваются лишь в ограниченном объеме [6]. Так, для представления температурной составляющей 
для условий Египта используется полиномиальная модель [80]
где 
– температура воздуха в t-й час.
Применяется регрессионный метод для «нормализации» максимумов и провалов реализации процесса с учетом температуры, при этом нормализованные данные представляются одномерной моделью авторегрессии интегрированного скользящего среднего (АРИСС) [84].
Используют также для моделирования 
с учетом температуры [90] рекурсивный фильтр Калмана, в который включаются внешние факторы – прогноз температуры. Либо используют в краткосрочном диапазоне полиномиальную кубическую интерполяцию часовых нагрузок и при этом в модели учитывают влияние температуры [91].
Для учета среднесуточных прогнозов температуры, различных метеоусловий на реализации анализируемого процесса и в то же время повышения устойчивости модели предлагается использовать особую модификацию модели скользящего среднего [92]
,
где для различных метеоусловий, связанных с вероятностями 
формируется ряд из m графиков нагрузки 
, а прогноз определяется как условное математическое ожидание. Вероятности 
уточняются по методу Байеса по мере поступления новых фактических значений нагрузки и факторов в течении суток.
Моделирование остаточной составляющей 
осуществляют как с использованием одномерных моделей, так и многомерных, учитывающих метеорологические и другие внешние факторы. Так, в качестве одномерной (однофакторной) модели зачастую используют модель авторегрессии АР(k) порядка k
,
где 
– остаточный белый шум. Для прогнозирования часовых (получасовых) отсчетов используют модели АР(1), АР(2) [81] и даже АР(24) [87]. Даже в случае использования обобщенной модели АРИСС для 
все равно ее применение сводится к моделям АР(1), АР(2) как для пятиминутных [91], так и часовых измерений нагрузки [89].
Иной однофакторной моделью моделирования составляющей 
является модель простого или двойного экспоненциального сглаживания. Эта модель позволяет эффективно выявлять краткосрочные тренды в процессе изменения остаточной нагрузки [84]. Простота, экономичность, рекурсивность и вычислительная эффективность обеспечивают методу экспоненциального сглаживания широкое применение. С помощью простого экспоненциального сглаживания по 
при различных постоянных 
и 
определяют две экспоненциальные средние 
и 
. Прогноз остаточной составляющей 
с упреждением 
определяют [6] по формуле
,
где 
– функция времени упреждения l и скорости изменения соответствующей базовой нагрузки 
; 
– функция времени упреждения и постоянных сглаживания. Величина 
служит для ослабления экстраполяции трендов при значительных упреждениях. Однако параметры этой модели обеспечивают адаптивность в отношении изменений 
, но не в отношении предшествующих ошибок прогноза.
В иных работах [84, 85] для моделирования 
используется вариант канонического разложения по собственным векторам автоковариационной матрицы
,
где 
– i-е собственное значение и собственный вектор автоковариационной матрицы процесса 
соответственно. Опыт использования этой модели в Великобритании и Японии отмечает высокую чувствительность к оценкам параметров модели, но также более низкую, по
сравнению с экспоненциальным сглаживанием, робастность в условиях больших шумов и помех.
Моделирование остаточной составляющей 
в многофакторной форме используется на практике не часто. Это объясняется быстрой адаптацией более простых однофакторных моделей к вариациям нагрузки при оперативном и краткосрочном прогнозах. Кроме того, многофакторные модели требуют большего объема исходных данных, измерительной оперативной информации, данных различных прогнозов и т.п. Так, малая часть используемых многофакторных моделей 
базируется, например, на моделях типа АРИСС (ARIMAX-модель) или нелинейных регрессионных моделях с включенным дополнительным температурным фактором [79, 81, 88].