Решать задачи динамики – решай их

19. 1. Гирю массой m, подвешенную на нити, поднимают вверх с постоянным ускорением из состояния покоя. Каково будет перемещение S гири за время t после начала движения, если жесткость нити k, а ее удлинение составляет Dl?

Ответ: S = .

19. 2. Вагон движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a. К потолку вагона прикрепили отвес. Найти угол a отклонения отвеса от вертикали и силу T натяжения нити, если масса отвеса равна m.

Ответы: a = arctg (a /g) ; T = m .

19. 3*. Автомобиль массой M поднимается вверх по дороге с постоянной скоростью. Дорога составляет с горизонтом угол a. Найти силу взаимодействия ведущих (задних) колес с поверхностью дороги. Расстояние между осями автомобиля – L, центр тяжести находится посредине между ними на расстоянии H от поверхности дороги. Силой сопротивления пренебречь.

Ответ: F = M g .

19. 4. Искусственный спутник Земли, используемый в системе телевизионной и радиосвязи, запущен в плоскости земного экватора так, что все время находится над одной и той же точкой поверхности Земли. Во сколько раз радиус RC орбиты спутника больше радиуса Земли RЗ = 6400 км?

Ответ: = » 6,6 , где g = 9,8 м/с2, а T = 24 ч.

19. 5. Две звезды массами m1 и m2, расстояние между которыми равно l, вращаются около их общего центра масс по круговым орбитам. Найти период T обращения звезд.

Ответ: T = 2 p l .

19. 6. Воздушный шар, масса которого с баллоном M = 135 кг, а объем V = 156 м3, равномерно опускается. Какова масса m балласта, который нужно сбросить, чтобы шар начал равномерно подниматься с такой же скоростью? Плотность воздуха r = 0,8 кг/м3.

Ответ: m = 2 (M – r V) » 20 кг.

19. 7. Найти силу T натяжения нити и ускорение a грузов в системе, показанной на рисунке 35. Трением пренебречь.

Ответы:

T = (sin a + sin b) ;

a = g .

19. 8*. Клин с углом a при основании может скользить по гладкой горизонтальной поверхности. При каком соотношении масс m1 и m2 грузов, связанных нитью, перекинутой через блок (рис. 36), клин будет неподвижен, и при каком он будет перемещаться влево или вправо? Коэффициент трения между грузом массой m2 и клином равен m.

Ответы:

Клин неподвижен при sin a – m cos a £ £ sin a + m cos a ;

если £ sin a – m cos a, то клин скользит влево;

если ³ sin a + m cos a, то – вправо.

19. 9*. Брусок массой m1 находится на доске массой m2, которая лежит на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 37). Коэффициент трения между бруском и доской равен m. К доске приложена горизонтально направленная сила , зависящая от времени по закону F = a t, где a = const. Найти ускорения a1 и a2 движения бруска и доски. Построить графики зависимостей a1(t) и a2(t).

Ответы: Если t £ t0 = (m1 + m2) m g / a, то a1 = a2 = a t / (m1 + m2). При t > t0 величина a1 = m g, а ускорение a2 = (a t – m m1 g) / m2.

19. 10*. На повороте дороги радиусом R = 100 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1,0 м, ширина следа автомобиля l = 1,5 м. Определите скорость v, при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит.

Ответ: v ³ » 98 км/ч.

19. 11*. Коэффициент жесткости резинового жгута длины l и массы m равен k. Кольцо, изготовленное из этого жгута, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца. Время одного оборота – T. Определить радиус R вращающегося кольца.

Ответ: R = .

19. 12. Однородная лестница прислонена к идеально гладкой стене. При каком предельном угле a наклона лестницы к полу она еще не проскальзывает, если коэффициент трения между полом и лестницей равен m?

Ответ: a =arcctg (2 m).

19. 13. На дне бассейна лежит тонкий стержень длиной L = 1,0 м, состоящий из двух половин плотностью r1 = 0,50 г/см3 и r2 = 2,5 г/см3. В бассейн наливают воду. Плотность воды r = 1,0 г/см3. При какой глубине h воды в бассейне стержень будет составлять с поверхностью воды угол a = 450?

Ответ: h = » 71 cм.

19. 14*. На земле лежат вплотную два одинаковых бревна цилиндрической формы. Сверху кладут такое же бревно. При каком коэффициенте трения m между ними они не раскатятся?

Ответ: m ³ » 0,27.

19. 15*. Однородный шар массы m и радиуса R подвешен на нити длиной l к гладкой вертикальной стене. Определить силу T натяжения нити и силу F давления шара на стену.

Ответы: T = ; F = .

19. 16*. Закрытая трубка длиной L, полностью заполненная жидкостью, составляет угол a с вертикальной осью, проходящей через ее нижний конец. В жидкости плавает легкая пробка. До какой угловой скорости w нужно раскрутить трубку вокруг оси, чтобы пробка погрузилась до середины трубки?

Ответ: w = ;.

19. 17. На рисунке 19.17 показана система, содержащая два подвижных блока и три груза, массы которых m, 2 m и M. Какую массу M нужно взять, чтобы сила натяжения верхней нити была равна 4 m g по модулю?

Ответ: M = 1,6 m.

19. 18*. При каком ускорении блока в системе, изображенной на рисунке 19.18, груз массой 2 m будет двигаться с ускорением, равным по модулю a2 = g / 10?

Ответы: = – 7 / 20, если 2 = / 10;

= 13 / 20, если 2 = – / 10.

19. 19*. По наклонной плоскости с углом наклона a движется вниз кубик массой m. Он скользит по плоскости двумя выступами, совпадающими с передним и задним (по направлению движения) нижними ребрами куба. Высота выступов пренебрежимо мала. Коэффициент трения выступов о наклонную плоскость равен m. Определите силы реакции F1 и F2 наклонной плоскости в процессе движения.

Ответы: F1 = m g cos a (1 + m) ;

F2 = m g cos a (1 – m) .

IV ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Генерал-законы» раздела

 

« В классической механике законы сохранения импульса и энергии являются следствиями законов Ньютона. Однако указанные понятия и соответствующие им законы сохранения в физике имеют более широкий смысл, и их область применимости выходит далеко за рамки классической механики.

« Импульсом частицы называют произведение ее массы на скорость: = m . Импульсом системы называют сумму импульсов частей системы:

= . (20.1)

« Закон изменения импульса (ЗИИ): в инерциальной системе отсчета изменение импульса системы равно произведению суммы всех внешних сил на промежуток времени, в течение которого происходит это изменение:

2 – 1 = Dt . (20.2)

Из ЗИИ (20.2) следует, что при определенных условиях ( t = 0) импульс системы может сохраняться.

« Закон сохранения импульса: если система замкнута (нет внешних воздействий), то ее импульс остается неизменным. На практике редко приходится иметь дело с замкнутыми системами, поэтому при решении задач классической механики лучше, чтобы избежать ошибок, применять закон изменения импульса (20.2).

« Импульс системы равен произведению ее массы m на скорость движения центра масс Ц:

= m Ц . (20.3)

Поэтому при сохранении импульса системы сохраняется и скорость движения центра масс.

« Работа постоянной силы на перемещении есть физическая величина, определяемая равенством:

A = = F S cos a, (20.4)

где a – угол между векторами и .

Если сила не остается постоянной, то работа равна сумме элементарных работ DAi, то есть работ на достаточно малых перемещениях D i, для которых можно пренебречь изменением силы:

DAi = Fi DSi cos ai , (20.5)

A = = = . (20.6)

Здесь i – номер участка траектории, ai – угол между силой i и перемещением D i на этом участке.

Часто всю траекторию движения приходится разбивать на бесконечно большое число бесконечно малых участков. В этих случаях суммирование в (20.6) заменяется интегрированием.

« Сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, называют работой над системой A. Работа самой системы

A¢ = – A . (20.7)

« Мощностью N механизма, совершающего элементарную работу DA за малый промежуток времени Dt, называют отношение

N = DA / Dt. (20.8)

« Если механизм обеспечивает существование силы , точка приложения которой движется со скоростью , то его мощность вычисляется по формуле

N = F v cos a , (20.9)

где a – угол между направлениями и .

« Кинетической энергией частицы массой m, которая движется со скоростью v, называют величину

EК = m v2 / 2 . (20.10)

Кинетическая энергия системы равна, по определению, сумме кинетических энергий частей системы.

« Потенциальной (консервативной) называют силу, работа которой не зависит от того, по какой траектории движется точка приложения. Работа потенциальной силы AП равна разности значений некоторой функции EП, называемой потенциальной, в начальном и конечном положениях:

AП = EП1 – EП2 . (20.11)

Потенциальными являются, например, силы тяжести и упругости. Соответствующие потенциальные функции имеют вид: EП = m g h и EП = k x2 / 2.

« Потенциальной энергией EП системы называют физическую величину, равную работе внутреннихпотенциальных сил при переходе системы их данного состояния в нулевое. Нулевое состояние – такое состояние, в котором потенциальная энергия полагается равной нулю. Выбор нулевого состояния произволен.

« Потенциальная энергия системы «груз – Земля» равна

EП = m g h (20.12)

при условии, что высота подъема h груза массой m много меньше радиуса Земли, и что в качестве нулевого состояния принято состояние системы, для которого h = 0.

« Потенциальная энергия пружины жесткостью k, деформированной на величину x, равна

EП = k x2 / 2 , (20.13)

если за нулевое принято состояние недеформированной пружины.

« Помимо потенциальной энергии системы (внутренней потенциальной энергии) иногда рассматривают потенциальную энергию во внешнем поле (внешнюю потенциальную энергию), равную работе внешних потенциальных сил при переходе в нулевое состояние. Чтобы избежать недоразумений, будем употреблять термин «потенциальная энергия» в смысле внутренней потенциальной энергии системы.

« Механической энергией системы называют сумму ее кинетической и потенциальной энергий:

E = EК + EП . (20.14)

« Закон изменения механической энергии заключается в следующем: изменение механической энергии системы равно сумме работ внутренних непотенциальных (AН) и внешних (A) сил. Закон выражается формулой:

E2 –E1 = AН + A . (20.15)

« Физическую величину U, изменение которой DU в изолированной системе равно взятой с обратным знаком работе внутренних непотенциальных сил, называют внутренней энергией:

DU = – AН. (20.16)

Над изолированной системой, по определению, не совершается работа и эта система не получает тепло.