Функция, непрерывная в точке
Пусть функция задана на множестве
и
. Если
, то говорят, что эта функция непрерывна в точке
. Функция, непрерывная в каждой точке множества
, называется непрерывной на множестве
. График непрерывной функции представляет собой непрерывную кривую. Все известные из школьного математического курса функции непрерывны в областях, где они заданы: многочлены,
,
при
,
,
,
при
,
при
.
Пример разрывной функции – функция
Графиком непрерывной на области D функции двух переменных является непрерывная поверхность. В качестве примера приведем функцию
.
Частным случаем непрерывной в точке функции является дифференцируемая в этой точке функция. Такие функции еще называют «гладкими»: к графику дифференцируемой в точке функции можно провести касательную.
В случае дифференцируемости функции в точке можно вычислить производную в такой точке по формуле
.
Очевидно, что существуют непрерывные кривые, в некоторых точках которых провести касательную невозможно.
Напомним,что геометрическим смыслом производной является тангенс угла наклона касательной к кривой
в точке
.
Из школьного курса вам известна таблица производных. Она приводится ниже.
Таблица производных
![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
X |
Y |
0 |
![]() |
![]() |
![]() |
Определение 1. Функция в точке
имеет максимум, если для всех x из некоторой
-окрестности точки
выполняется неравенство
при
.
X |
Y |
0 |
![]() |
![]() |
![]() |






Определение 3. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Теорема о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции одной переменной: необходимым условием экстремума дифференцируемой в точке функции является
.
Точки, в которых производная функции обращается в ноль, называются критическими точками. Критические точки функции не обязательно являются точками экстремума. Например, если , то
при
, но точка
не является точкой экстремума, что видно из рисунка.
Теорема о достаточном условии существования максимума и минимума функции.
+ max - |
- min + |

В случае, когда дифференцируемой в точке является функция двух переменных , она обладает в этой точке производными и по переменной x, и по переменной y. Такие производные называются частными производными. График такой функции в этой точке (поверхность) является гладким, то есть к поверхности в точке можно провести касательную плоскость.
Теорема о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции двух переменных: необходимым условием экстремума дифференцируемой в точке (a,b) функции является равенство нулю обеих частных производных этой функции: .
.
Последнее условие является основой для следующего важного метода.