Исследование функции методами дифференциального исчисления.
Справочный материал
Схема исследования функции:
1. Область определения и область значения функции.
Область определения функции - множество допустимых значений переменной х,
Область значения функции - множество допустимых значений переменной у.
2.Чётность, периодичность функции.
График чётной функции симметричен относительно оси ординат (Оу). Например:
| График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Например:
|
Функция является периодической, если она имеет на всей области определения повторяющийся характер. Например:
3.Точки пересечения с осями координат.
4.Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства – промежутки в которых функция принимает положительные и отрицательные значения.
5.Промежутки возрастания и убывания функции.
6.Точки экстремума.
Точки экстремума - точки максимума и минимума функции.
7.Наибльшее и наименьшее значение функции.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Тема 1. Предел функции. Непрерывность функции
Определение: Функцию y = f(x), x Î N называют числовой последовательностью
y1, y2, …, yn… - члены числовой последовательности
Примеры числовых последовательностей: 1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел.
Способы задания последовательностей:
- Перечислением членов последовательности.
- Заданием аналитической формулы.
Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2n-1, … - возрастающая последовательность.
Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2n–1), … - убывающая последовательность.
Число а называется пределом числовой последовательности {уn}:
 |  | ||
Если , то называют бесконечно малой величиной (бм)
| | |||
 | |||
Если , то называют бесконечно большой величиной (бб)
Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях
|
бм=бм 2)бм*бм=бм 3)бм*огр=бм 4) 
5)бб+бб=бб 6)бб*бб=бб 7)бб*огр=бб 8) 
Свойства пределов:
Если ,то
1) предел суммы равен сумме пределов:
2) предел произведения равен произведению пределов:
3) предел частного равен частному пределов:
 |
4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:
Исследование функции на непрерывность
Определение: Функция f(x) называется непрерывной в т.х0 если:
1)существует значение функции в точке f(x0)
2)существует конечный предел в точке х0 
3)предел равен значению функции в точке х0 
Определение: Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
| 
Функция непрерывна на всей области определения
| 
| 
Функция не является непрерывной в т. 0
|
Определение: Если в какой-либо точке х0 функция у = f(x) не является непрерывной, то точка х0 называется точкой разрыва этой функции, а функция у = f(x) называется разрывнойв этой точке.
Точки разрыва 1 рода
| Точка х=1 точка устранимого разрыва
А1=А2=1
| 
| Скачок
 =1
 =-1
|
Точки разрыва 2 рода
| 
|
Производная функции
Механический смысл производной:
Геометрический смысл производной:
| 
Уравнение касательной:
| ||
Таблица производных
| 
|
Исследование функции методами дифференциального исчисления.
| Признак возрастания и убывания функции • Если f ‘(x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. • Если f ‘(х) <0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I. |
Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.