Основные теоретические сведения. Линейные модели обычно применяются для анализа простых взаимосвязей между экономическими показателями
Линейные модели обычно применяются для анализа простых взаимосвязей между экономическими показателями. Однако в ряде случаев экономические соотношения имеют более сложный характер и их представление в виде линейной зависимости не всегда возможно, а часто и не корректно.
Однако часто нелинейные связи между объясняющими и объясняемой переменной можно с помощью определенных преобразований свести к линейным.
К таким нелинейным связям в частности относятся:
1) Нелинейные регрессии относительно объясняющих переменных Хi, но линейные по оцениваемым параметрам 
i .
а) Y = 0 + 1 Х + 2 Х2 + …+ m Хm + 
- степенной полином.
б) Y = 0 + 1 
+ - равносторонняя гипербола.
2) Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам i .
а) Y = А 
- показательная функция.
б) Y = A 
- степенная функция.
в) Y = 
- экспоненциальная функция.
Нелинейности первого вида приводятся к линейным регрессиям с помощью преобразования объясняющих переменных (введением новых переменных).
Примеры.
Y = 0 + 1 Х + 2 Х2 + … 
Y = 0 + 1 Х1* + 2 Х2* + …+ m Хm + , (3.1)
где Х1* = Х; Х2* = Х2, …, Хm* = Хm.
Y = 0 + 1 + 
Y = 0 + 1 Х* + , (3.2)
где Х* = .
Оценка коэффициентов 
осуществляется по уравнению (3.1) с использованием метода МНК оценки для множественной линейной регрессии.
Выражение (3.2) соответствует парной линейной регрессии.
Нелинейности второго вида приводятся к линейным с помощью операции логарифмирования.
Пример.
В качестве примера рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа
Y = A 
, (3.3)
где Y – объем производства; К – затраты капитала; L – затраты труда; - случайное возмущение; 1, 2 – коэффициенты частной эластичности объема производства Y по затратам капитала К и труда L; A – постоянный коэффициент.
Логарифмируя обе части уравнения (3.3) для i – го наблюдения, получим
ln yi = ln A + 
1 ln Ki + 2 ln Li + ln i . (3.4)
Переобозначив переменные в (3.4)
yi* = ln yi ; Х1i = ln Ki ; Х2i = ln Li ; 0 = ln A; 
= ln i ,
получим
yi* = 0 + 1 Х1i + 2 Х2i + (3.5)
Для выборки объема n в матричной форме уравнение (3.5) запишется в виде
, (3.6)
где 
= (y1* , y2* ,…, yn* )T ; В = ( 0 , 1 , 2 )Т ;
.
Таким образом, алгоритм оценки параметров нелинейной регрессии состоит из предварительного преобразования нелинейной модели к линейной и оценки ее параметров обычным образом с использованием МНК. После чего осуществляются обратные преобразования и возврат к исходному нелинейному уравнению.
Для нелинейной регрессии значимость уравнения в целом характеризуется также, как и в линейной регрессии с помощью коэффициента детерминации 
:
= 1 – (1 – R2) 
, (3.7)
где R2 = 1 - 
. (3.8)
В (3.8) 
определяется по исходному нелинейному уравнению регрессии.
Примечание. Значимость коэффициентов регрессии осуществляется по линеаризованному уравнению. Поэтому, если в линеаризованном уравнении присутствует не bi , а ln bi , тогда Т-статистика этого параметра будет:
Тbi = 
,
и характеризует значимость не самого коэффициента bi , а его логарифма.
При описании статистической зависимости между экономическими переменными различными функциональными соотношениями выбор наилучшей модели осуществляется следующим образом. Выбираются уравнения с наибольшими значениями . Если таких уравнений несколько (примерно с одинаковыми значениями ), то выбирается модель, у которой наименьшая 
или наименьшая остаточная дисперсия
.