Методика определения коэффициента Пуассона
Теоретическая часть
Для характеристики тепловых свойств газа, как и всякого другого тела, пользуются особой величиной - теплоемкостью.
Теплоемкостью тела называют количество теплоты, которое нужно подвести к нему или отнять от него для изменения его температуры на 1 К:
.
Теплоемкость, отнесенная к единице массы вещества, называется удельной теплоемкостью. Она, очевидно, характеризует уже не тело, а вещество, из которого это тело состоит. Теплоемкость, отнесенная к одному молю вещества, называется молярной теплоемкостью.
Между удельной теплоемкостью - c и молярной - C существует очевидное соотношение:
,
где М - молярная масса (измеряется в кг/моль).
Теплоемкость газа зависит от условий его нагревания. В частности, газ можно нагревать при постоянном объеме V или при постоянном давлении Р. Соответственно получаем теплоемкость при постоянном объеме Cv и теплоемкость при постоянном давлении Cp.
Отношение Сp/Сv = является параметром при адиабатных процессах и при процессах, близких к ним ( называют коэффициентом Пуассона).
Процесс называется адиабатным, если в этом процессе нет теплообмена газа с окружающей средой (стенки сосуда теплоизолированы). Если адиабатный процесс является равновесным (в каждый момент времени давление Р и температура Т одинаковы по всему объему), то он описывается уравнением Пуассона
РV = const.
Согласно первому началу термодинамики
Q = U +A,
где Q - количество теплоты, сообщенное газу, U - изменение внутренней энергии газа, A - работа, совершенная газом над внешними телами.
Рассмотрим один моль газа. Если V = const, то A = 0 и, следовательно,
Сv = U / Т. Если Р = const, то A = РV = R T, так как уравнение состояния (PV = RT) справедливо в начальном и конечном состоянии газа.
Следовательно,
.
Таким образом, молярные теплоемкости Cp и Сv для идеального газа связаны соотношением
Cp = Сv + R,
где R - универсальная газовая постоянная.
Cp > Сv , так как при V = const вся сообщаемая газу теплота идет только на изменение внутренней энергии газа, тогда как при Р = const нагревание газа неизбежно сопровождается его расширением. При этом газ совершает работу, для чего приходится сообщать ему дополнительное количество теплоты.
В молекулярно-кинетической теории газов показывается, что 
, где i - число степеней свободы одной молекулы - число независимых координат, с помощью которых однозначно определяется положение и ориентация молекулы в пространстве.
Для одноатомных молекул i = 3 (например, инертные газы), для двух атомной жесткой молекулы (расстояние между молекулами постоянно) i = 5.
Именно такими являются молекулы N2 и О2 в воздухе при комнатных температурах и, следовательно, для них
.
Методика определения коэффициента Пуассона
Рассмотрим баллон с воздухом, герметично закрытый поршнем и соединенный с жидкостным U-образным манометром (рис 2.1).
1. Пусть первоначально температура воздуха в баллоне равна комнатной, а давление превышает атмосферное на небольшую величину Р'. Уравнение состояния воздуха в баллоне имеет вид
, (2.1)
где Р - атмосферное давление; Т - абсолютная температура газа, равная температуре окружающей среды; V - объем, занимаемый воздухом; Р' - добавочное давление (определяется по манометру), m - масса воздуха в баллоне, М - молярная масса воздуха (смесь азота и кислорода).
2. Переместим поршень вверх. При этом воздух в баллоне расширяется и охлаждается. Остановим поршень (в положении V2) в тот момент, когда давление в баллоне станет равным атмосферному (уровни жидкости в обоих коленах манометра равны). При расширении газ совершает работу и охлаждается.
После остановки поршня воздух в баллоне нагревается до комнатной температуры (за счет теплообмена с окружающей средой). при этом давление в баллоне повышается на некоторую величину P" (Р" < Р'). Уравнение состояния воздуха в баллоне теперь имеет вид
. (2.2)
Подчеркнем, что масса воздуха в баллоне в состояниях 1 и 2 одинакова.
3. В данной работе существенным является характер перехода воздуха в баллоне из состояния 1 в состояние 2, а именно: если расширение воздуха происходит достаточно быстро, то изменение его внутренней энергии значительно превышает энергию, которая успевает за это время пройти через стенки баллона из окружающей среды, и процесс расширения можно считать адиабатным. Если процесс расширения воздуха в баллоне является равновесным (давление и температура одинаковы по всему объему), то такой процесс описывается уравнением Пуассона: РV = const. Ясно, что это справедливо только при медленном расширении. При выполнении обоих из указанных условий уравнение Пуассона применимо и, следовательно,
(Р+P') V1 =Р V2 , (2.3)
где P - атмосферное давление.
Из (2.3) находим
, (2.4)
а из (2.1) и (2.2) следует
. (2.5)
Сравнивая (2.4) и (2.5), получаем
. (2.6)
Логарифмируя (2.6), имеем
. (2.7)
При Р' « P (при этом и Р" « P) можно воспользоваться приближением
ln(1 + x)x при x 0. [Убедитесь с помощью калькулятора, что при x 0,02 ошибка при замене ln(1+ x) на x не превышает 1%. А в данной работе h 0,2 м, тогда как атмосферному давлению соответствует высота водяного столба h 10 м].
В результате получаем
, (2.8)
так как Р'=gh', Р"=gh". Таким образом, измерив h' и h", можно найти коэффициент Пуассона .
Описание установки
Экспериментальная установка состоит из металлического баллона, наполненного воздухом, который соединен с манометром и компрессором.
Рис. 2.2. Схема установки:
1 - компрессор, 2 - баллон, 3 - клапан, 4 - U-образный манометр, 5 - вентиль
Порядок выполнения работы
1. С помощью компрессора осторожно накачать в баллон воздух так, чтобы разность уровней жидкости в манометре стала равной 25-30 см. Закрыть клапан насоса, выждать 3-4 минуты, пока температура воздуха в баллоне не сравняется с комнатной (пока движение уровней в манометре не прекратится). По нижнему уровню мениска определить уровни жидкости L1' и L2' в коленах манометра. Занести значения L1', L2' и h' = L1' – L2' в табл. 2.1.
2. С помощью вентиля соединить баллон с атмосферой и держать его открытым до тех пор, пока уровни в манометре не сравняются. При этом вплоть до выравнивания каждый уровень должен двигаться в одну сторону. После этого закрыть вентиль. Воздух в баллоне будет нагреваться до комнатной температуры. Соответственно и давление будет повышаться. Через 3-4 минуты, когда движение уровней в манометре прекратится, записать значения L1", L2" и h"= L1" - L2" в табл. 2.1.
Замечание. При проведении данного эксперимента масса воздуха в баллоне не остается постоянной. Если после накачки (состояние 1) его масса m1, то после открытия крана часть воздуха выходит из баллона (состояние 2), так что масса оставшегося в нем воздуха m2 < m1.
Именно для m2 справедливо все вышесказанное при выводе формулы (2.8). Действительно, в состоянии 1 масса m2 занимает некоторый объем V1 < V (рис.2.3), так как на весь объем баллона V приходится масса m1 > m2.
А в состоянии 2 масса m2 занимает уже весь объем баллона (V2 = V, рис.2.3). Таким образом, для воздуха массой m2 состояния 1 и 2 описываются формулами (2.1) и (2.2) соответственно, а переход 1 2 - формулой (2.3).
3. Повторить опыты не менее 10 раз.
Результаты измерений занести в табл. 2.1.
Таблица 2.1
| Номер опыта | L1', мм | L2', мм | h', мм | L1", мм | L2", мм | h", мм | |
| . . |
4. По формуле (2.8) рассчитать для каждого опыта.
5. Рассчитать среднее значение .
6. Ошибку в определении рассчитать по формуле:
,
где 
- коэффициент Стьюдента, n - число измерений, – коэффициент надежности (принять равным 0,95), S - стандартное отклонение среднего.
7. Сравнить полученное значение = ср + с теоретическим значением для двухатомного газа.
Контрольные вопросы
1. Как определяются удельная и молярная теплоемкости? Какова связь между ними? Единицы измерения.
2. От чего зависит теплоемкость газов?
3. Что такое коэффициент Пуассона?
4. Какой процесс называется адиабатным и каким уравнением он описывается?
5. Почему Ср > Сv ?
6. Что такое число степеней свободы молекулы ?
7. Чему равно теоретическое значение коэффициента Пуассона для воздуха?
8. Как и почему меняются температура и давление воздуха в баллоне во время опыта ?
9. Какое влияние оказывает на результат запаздывание при закрытии крана К1?
Литература: [1].....[5]