ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ и Методика эксперимента

ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРА АТОМА ВОДОРОДА

И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ РИДБЕРГА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучить структуру спектра атомарного водорода для серии Бальмера. Определить постоянную Ридберга.

Оборудование: Монохроматор УМ-2, газоразрядная трубка, ртутная лампа ДРШ-250.

Основы Теории

Изучение атомных спектров послужило ключом к познанию строения атома. Прежде всего, было замечено, что линии в спектрах атомов располагается не беспорядочно, а группируется в так называемые серии. Отчетливее всего это обнаруживается в спектре простейшего атома – атома водорода. Излучаемый им спектр можно точно рассчитать, используя методы квантовой механики, т. е. решая уравнение Шредингера для электрона в атоме.

С точки зрения квантовой механики атом водорода, можно рассматривать как систему, состоящую из неподвижного ядра и электрона, находящегося в поле ядра. Движение электрона в электрическом поле неподвижного ядра описывается волновой функцией, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера:

, (1)

где – оператор Лапласа,

=(x,y,z) – волновая функция для стационарного состояния, являющаяся координатной частью волновой функции (x,y,z,t).

m_е = 9,1×10^{-31 кг – масса электрона,}

=1,05×10^-34 Дж·с – постоянная Планка,

E – полная энергия электрона,

U – потенциальная энергия электрона в поле ядра атома.

Сама волновая функция физического смысла не имеет, но квадрат ее модуля имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность dW нахождения микрочастицы в единичном объеме dV в окрестности точки с координатами x, y, z.

(2)

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром атома водорода определяется выражением

(3)

где r - расстояние между электроном и ядром,

e =1,6×10^-19 Кл– элементарный заряд.

Графически, зависимость потенциальной энергии электрона в атоме водорода от расстояния до ядра U(r), может быть представлена в виде гиперболической «потенциальной ямы» (рис.1), внутри которой проведены уровни, соответствующие дискретным значением полной энергии электрона Е_n.

Появление определенных дискретных значений энергии электрона Е_n в атоме водорода является результатом решения уравнения Шредингера (1) для электрона связанного с ядром, т.е. энергия электрона в атоме квантуется по закону:

, (4)

где n=1, 2, 3...¥,

h= ·2 =6,63·10^–34 Дж·с – постоянная Планка,

e₀=8,85×10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Параметр n – главное квантовое число, характеризует энергетическое состояние системы (атома) и совпадает с номером стационарного состояния.

Самый нижний энергетический уровень ₁ (при n=1), соответствующий минимальной возможной энергии электрона в атоме, называется основным, все остальные – возбужденными. По мере роста числа n энергетические уровни располагаются теснее (рис.1), и при n =0. При Е>0 движение электрона является свободным, соответственно энергия, необходимая для ионизации атома водорода, равна E_i=–E₁=13,55 эВ.

Другим важнейшим результатом, вытекающим из решения уравнения Шредингера (1), является квантование момента импульса электрона L (орбитального механического момента) по формуле

, (5)

где l=0, 1, 2, ..., (n-1) – орбитальное квантовое число.

При этом, проекция вектора момента импульса на некоторое направление z (например, внешнего магнитного поля) L_z, также принимает квантованные значения

, (6)

где m_l=0, ±1, ±2,..., ±l – магнитное квантовое число (принимает (2l+1) значений).

Дискретность в ориентации вектора получила название пространственного квантования момента импульса. Для наглядности пространственное квантование обычно представляют графически на векторных диаграммах (рис. 2). Из диаграмм видно, что вектор орбитального момента импульса электрона для атома водорода может иметь (2l+1) направлений в пространстве, каждое из которых определяется соответствующим значением угла из формулы

, (7)

где m_l=0, ±1, ±2,..., ±l .

Энергия электрона в атоме Е_n, согласно (4), зависит только от главного квантового числа n, но каждому собственному значению Е_n (кроме _l) соответствует несколько собственных волновых функций, отличающихся значениями квантовых чисел l и m_l. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях, отличающихся величиной и ориентацией момента импульса электрона. Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня. Очевидно, что число различных состояний, соответствующих данному n, равно

(8)

В атомной физике применяют следующие условные обозначения состояний электрона:

l=0 – s-состояние,

l =1 – р-состояние,

l=2 – d-состояние,

l=3 – f-состояние,

и далее в порядке следования букв латинского алфавита.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением числа l. Таким образом, электрон в состоянии с n=1 и l=0 обозначается символом 1s, с n=2 и l=1 – символом 2р и т.д.

Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнения Шредингера и условий (однозначность, непрерывность, и конечность) налагаемых на волновую функцию . Поскольку при движении электрона в атоме существенны волновые свойства электрона, то в квантовой механике вообще отказываются от классического представления о траектории движения электрона в атоме (электронных орбитах), так как смысл имеет лишь вероятность местонахождения электрона в той или иной области пространства. Плотность вероятности местонахождения электрона задается квадратом модуля его волновой функции. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему атома, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Форму электронного облака определяет орбитальное квантовое число l, а его ориентацию в пространстве – магнитное квантовое число m_l.

Квантовые числа позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водорода. Излучение и поглощение света веществом сопровождается переходом части атомов или молекул вещества из одного энергетического состояния в другое. Атомы в обычных условиях находятся в основных, т.е. в невозбужденных, состояниях, при этом они не излучают и не поглощают энергию. Чтобы перевести атомы вещества в возбужденное состояние надо сообщить им дополнительную энергию, например, за счет соударений с электронами при газовом разряде. Возбужденные атомы излучают линейчатые спектры. Этот процесс сопровождается переходом атомов из состояния с большей энергией (возбужденное) в состояние с меньшей энергией (основное).

Исследования спектров излучения разряженных газов (т.е. спектров излучения отдельных атомов) показали, что каждому газу присущ вполне определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных линий или групп близко расположенных линий, т.е. спектры являются характеристикой атомов или молекул. Самым изученным является спектр наиболее простого атома – атома водорода, спектральные линии которого объединяются в группы или, как их называют, серии.

В дальней ультрафиолетовой области (=97÷122 нм) находится серия Лаймана, длины волн которой удовлетворяют соотношению

(9)

В видимой и близкой ультрафиолетовой области спектра (=397÷656 нм) атома водорода находится серия Бальмера

(10)

В инфракрасной области спектра ( > 956 нм) находятся серии Пашена, Брекета, Пфунда

(11)

(12)

(13)

Здесь R=l,097373210⁷ м^-1 – эмпирическая постоянная, называемая постоянной Ридберга.

Все представленные серии можно описать общей формулой, получившей название обобщенной формулы Бальмера

, (14)

где m – номер энергетического уровня на который осуществляется переход электрона в данной серии, m имеет постоянное для каждой серии значение (m=1 – серия Лаймана, m=2 – серия Бальмера, m=3 – серия Пашена, и т.д.), а n – номер энергетического уровня с которого осуществляется переход, поэтому n имеет ряд целых значений, начинающихся с m+1.

Набор уровней энергии в атоме и возможные переходы принято показывать на энергетической диаграмме, приведённой на рисунке 3, где принято Е_n = W_n – полная энергия электрона в атоме на n-ом уровне.

Серия Бальмера лежит в видимой области и состоит из ряда сравнительно ярких линий, которые в порядке убывания длины волны обозначают Н – красная линия, Н – зелено-голубая (цвета морской волны), Н – фиолетово-синяя.

Зная структуру энергетических уровней, можно представить и структуру спектра излучения (поглощения). При переходе атома водорода из состояния n с энергией Е_n в состояние m с энергией Е_m излучается квант света с частотой и энергией

h= Е_n – Е_m . (15)

Подставив в данную формулу выражение (4) для энергии электрона на соответствующем уровне, и учитывая, что (с=3·10⁸ м/с – скорость света в вакууме) и h=2, найдем

, (16)

где - совпадает с экспериментальным значением постоянной Ридберга.

Таким образом, решение уравнения Шредингера для электрона в атоме водорода дает объяснение экспериментально наблюдаемым спектральным сериям в спектре водорода.

В квантовой механике теоретически доказано (и экспериментально подтверждено), что в атоме возможны только такие переходы с одного энергетического уровня на другой, при которых изменение орбитального и магнитного квантовых чисел удовлетворяет условиям:

, (17)

. (18)

Эти условия получили название правил отбора. Существование этих правил является следствием закона сохранения момента импульса. Фотон, обладающий собственным моментом импульса (спином), может уносить из атома этот момент, или наоборот, привносить его в атом.

Переходы, разрешенные правилом отбора, показаны на схеме (рис. 4). Пользуясь условными обозначениями состояний электрона в атоме, переходы, приводящие к возникновению серии Лаймана, можно записать в виде

np1s (n=2,3,4….). (19)

Серии Бальмера будут отвечать следующие переходы

np2s, ns2p, nd2p (n=3,4,5…….). (20)

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ и Методика эксперимента

Для исследования спектра атома водорода используются газоразрядная водородная лампа, ртутная спектральная лампа и монохроматор УМ-2, предназначенный для измерения длин волн в диапазоне от 380 нм до 1000 нм. Схема устройства монохроматора показана на рис. 5.

Входная щель 1, снабженная микрометрическим винтом 2, который позволяет открывать щель на нужную ширину. Объектив коллиматора 3 снабжен микрометрическим винтом 4, позволяющим смещать объектив относительно щели для фокусировки спектральных линий. Сложная спектральная призма 5, установленная на поворотном столике 6, вращается вокруг вертикальной оси при помощи микрометрического винта с барабаном 7. На барабан нанесена винтовая дорожка с градусными делениями (цена деления =2 градуса), вдоль дорожки скользит указатель поворота барабана. При вращении барабана призма 5 поворачивается, и в центре поля зрительной трубы появляются различные участки спектра. Зрительная труба, состоит из объектива 8 и окуляра 9. Объектив 8 дает изображение входной щели 1 в своей фокальной плоскости, в этой же плоскости расположен указатель 10. Изображение рассматривается через окуляр 9.

На оптической скамье могут перемещаться рейтеры с источником света (водородная или ртутная лампа) и конденсором 11, служащим для концентрации света на входной щели монохроматора.

Луч света от источника освещает входную щель монохроматора. Узкая полоска света - изображение щели, пройдя объектив, попадает на спектральную призму. За счет дисперсии лучи разных длин волн, имеющиеся в пучке, преломляются по-разному и, следовательно, выходят из призмы под разными углами. Таким образом, свет, излученный источником, разлагается монохроматором в спектр. Вращая призму можно направить в зрительную трубу пучок света определенной длины волны.

Источником света является газоразрядная водородная лампа, представляющая собой стеклянную трубку с впаянными внутрь электродами – катодом и анодом, и наполненную очищенным водородом при давлении около 1 мм. рт. ст.. Трубка располагается параллельно вертикальной щели монохроматора.

При подаче высокого напряжения от индукционной катушки на анод и катод происходит разряд, сопровождающийся свечением газа внутри трубки. Разряд в лампе возникает при столкновении ускоренных электронов с молекулами водорода, образуемые при этом электроны и ионы поддерживают разряд. Эти же частицы ответственны за появление интенсивного рекомбинационного свечения разряда в ультрафиолетовой области спектра. Кроме областей непрерывного спектра, при рекомбинации наблюдаются также спектральные линии, соответствующие обычному эмиссионному спектру атомов и молекул водорода. Возбуждение их происходит главным образом за счет электронных ударов. Кроме этого, для облегчения зажигания лампы, внутрь трубки введено небольшое количество примеси неона. Поэтому спектр излучения лампы в видимой области имеет большое число линий, среди которых отчетливо видны линии, обусловленные излучением атома водорода.

Для определения длины волны спектральной линии предварительно проводят градуировку монохроматора по известному спектру (например, паров ртути). Градуировочный график монохроматора выражает зависимость между номером деления барабана N и длиной волны l входящего светового пучка. Градуировочная кривая должна быть построена в крупном масштабе на листе миллиметровой бумаги формата А4. По оси Х откладываются известные длины волн линий спектра, а по оси У – соответствующие этим линиям градусные деления барабана.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомьтесь с описанием установки и принципом работы монохроматора УМ-2.

2. Установите ртутную лампу на расстоянии 40 см от щели монохроматора, а конденсор примерно в 25 см от источника.

3. Включите пульт управления, служащий для питания источников. Для яркого освещения входной щели перемещайте конденсор вдоль скамьи, стремясь получить на щели резкое изображение источника света. При этом для удобства наводки наденьте на щель белый колпачок с перекрестием. Для получения резких спектральных линий ширина входной щели устанавливается (винтом 2) равной 0,02 ÷ 0,04 мм.

4. Для наблюдения спектра произведите тщательную фокусировку, так, чтобы указатель 10 и спектральные линии имели четкие, ясные границы. Для этого, вращая кольцо окуляра, получите резкое изображение острия указателя, а вращением микрометрического винта 4 получите резкое изображение спектральных линий.

5. Вращая барабан монохроматора, выставьте в окуляре красную область спектра. Поворачивая барабан в одном направлении (спектр смещается влево) определите показания барабана N, соответствующее каждой спектральной линии спектра ртути согласно табл. 1.

Таблица 1

Цвет линии	Относительная яркость	l, нм	Отсчет по барабану N
Красная		623,4
Желтая дублет (левая)		579,1
Светло-зеленая		546,0
Зелено-голубая		491,6
Синяя		435,8
Фиолетовая дублет (левая)		410,8

6. Выключите ртутную лампу. Уберите ее с оптической скамьи. Установите на скамью водородную лампу на том же расстоянии от входной щели. Перемещая конденсор поперек скамьи, добейтесь попадания светящегося изображения трубки во входную щель.

7. Заготовьте таблицу 2.

Таблица 2

Цвет и индекс линии	Отсчет по барабану, N	Длина волны l , нм	Квантовое число n	Постоянная Ридберга R, м-1
ярко-красная, Ha
зелено-голубая, Hb
фиолетово-синяя, Hg

8. Вращая барабан 7, проведите отсчет положения линий:

· найдите ярко-красную линию H_a. Следует отметить, что в спектре водородной трубки наряду с линиями атомного спектра наблюдается спектр молекулярного водорода. Поэтому поиск нужных линий следует начинать у наиболее яркой красной линии;

· вторая линия H_b - зелено-голубая. В промежутке между ними располагаются несколько красно-желтых и зеленых сравнительно слабых молекулярных полос;

· третья линия H_g - фиолетово-синяя. Перед этой линией располагаются две слабые размазанные молекулярные полосы синего цвета. Четвертая линия H - фиолетовая - в нашей установке не видна.

Внимание! Для уменьшения ошибки ширину входной щели 1 делают малой 0,02 ÷ 0,03 мм (винтом 2). Для наблюдения слабых линий в крайней сине-фиолетовой области щель приходится расширять до 0,05 ÷ 0,06 мм. Глаз лучше замечает слабые линии в движении, при наблюдении удобно слегка поворачивать барабан в обе стороны до среднего положения.

9. Запишите показания барабана для линий H_a , H_b , H_g в таблицу 2.

10. Выключите водородную лампу. По данным таблицы 1 постройте градуировочный график N=f(l). По градуировочному графику и данным таблицы 2 определите длины волн l_a , l_b , l_g . Для определения линии l_a график следует экстраполировать в сторону больших длин волн.

11. Вычислите значение постоянной Ридберга для трех длин волн (l_a , l_b , l_g) используя формулу (14) и данные таблицы 2.

12. Вычислите среднее значение <R> и погрешности: DR и e_R(%). Результат представьте в стандартной форме.

13. Вычислите теоретическое значение постоянной Ридберга с помощью формулы (16) и сравните полученный результат расчета с экспериментальным значением R.

14. Сформулируйте вывод по результатам работы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Запишите уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода. Какой важный вывод следует из решения этого уравнения? В чем состоит физический смысл волновой функции?

2. Каков физический смысл квантовых чисел?

3. Как на основании квантовой теории объясняется испускание и поглощение света? Что такое спектр излучения? Что такое спектральная линия, серия?

4. Объясните возникновение спектра испускания водорода? Какие существуют серии в спектре водорода?

5. Запищите обобщенную формулу Бальмера. Какой смысл в этой формуле имеют числа m и n? Сформулируйте физический смысл постоянной Ридберга.

6. Как устроен монохроматор УМ-2? Для чего в данной работе используется ртутная лампа?

7. Почему наблюдаемый спектр водородной лампы состоит из большого числа линий, а не только из линий атомарного водорода?

Рекомендуемая ЛИТЕРАТУРА

1. Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие: рек. Мин. обр. РФ/ Т.И. Трофимова.-8-15-е изд., стер.- М.: Высш. шк., 2005-2010. §§ 208, 209,201, 212, 213, 216, 217, 223.

2. Савельев, И.В. Курс общей физики. В 5-и тт. Том 5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц: Учебное пособие для втузов / И.В. Савельев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательсьво АСТ», 2011. Глава 3, Глава 4, Глава 5 (§5.1).

3. Курс физики : учеб. пособие для студ. втузов / А. А.Детлаф, Б.М.Яворский. -8-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2008. Глава 37, Глава 38, Глава 39 (§39.1).