Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.4. Дифференциальные уравнения и их применения в медицине

План

1. Основные понятия и определения дифференциального уравнения.

2. Методы решения некоторых дифференциальных уравнений.

3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач.

Основные понятия и определения дифференциального уравнения

Опр. Равенство, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у = f(x), а так же её производные y’,y”,….. yⁿ, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

F(x,y.y’,y”………) = 0, где F – известная функция, заданная в некоторой фиксированной области; х – независимая переменная; у – зависимая переменная; y’,y”,….. yⁿ – её производные.

Опр. Решением дифференциального уравнения называется функция у = f(x), которая будучи представлена в уравнении F(x,y.y’,y”………) = 0, обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой.

Пример 1.1. Дифференциальное уравнение

Представим в виде: ; возьмём интеграл от левой и правой части уравнения: Получим – общее решение дифференциального уравнения, которое включает произвольную постоянную с.

Методы решения некоторых дифференциальных уравнений

Выбор метода решения дифференциального уравнения зависит от его вида.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Уравнения вида называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной:

После резделения переменных, когда каждый член будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

Решением этого уравнения будет:

Пример 2.1. Найти решение уравнения: .

Разделим уравнение на множители, зависящие только от одной переменной:

Проинтегрируем левую и правую части:

Общее решение:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Опр. Уравнения вида: , где – непрерывные функции, называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

При уравнение – называется линейным однородным уравнением. Общее решение:

При уравнение – называется линейным неоднородным уравнением. Общее решение:

Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач

Этапы решения задач с помощью дифференциальных уравнений:

1. Оформить условия, в которых протекают изучаемые процессы;

2. Выбрать зависимые и независимые переменные;

3. Определить функциональные зависимости между ними

4. Решение уравнения;

5. Анализ полученных решений.

В уравнениях, описывающих медико-биологические процессы, в качестве независимой переменной чаще всего используется временная компонента.

Размножение бактерий

Если бактерии обитают в благоприятной среде, то скорость размножения бактерий пропорциональна размеру популяции. Такое предположение описывается дифференциальным уравнением: где х – количество бактерий; k – коэффициент пропорциональности. Тогда, разделяя переменные и интегрируя левую и правую части уравнения получим: где N₀– начальное количество бактерий; N - количество бактерий в момент времени t.

Вычислим определённые интегралы:

Получим экспоненциальную кривую, которая зависит от времени и k. Если то количество бактерий будет возрастать по экспоненциальному закону, при , а при - оставаться на постоянном уровне.

N₀

k<0

k = 0

k>0

Для определения значения k необходимо иметь дополнительные сведения об изменении численности бактерий за определённый промежуток времени.

Внутривенное введение глюкозы

При внутривенном введении с помощью капельницы скорость поступления глюкозы в кровь постоянна и равна с. В крови глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс, имеет вид: где х – количество глюкозы в крови в текущий момент времени; с – скорость поступления глюкозы в кровь; - положительная постоянная. Запишем это уравнение в виде:

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и его общее решение находиться по формуле:

где k- постоянная интегрирования. Чтобы найти постоянную k, необходимо знать начальное значение глюкозы в крови х (0).

Тогда .

Частное решение уравнения имеет вид:

При увеличении времени уровень глюкозы в крови приближается к .