Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов ,
называется число, равное скалярному произведению вектора
на векторное произведение векторов
и
.
.
Свойства смешанного произведения:
Смешанное произведение однородно относительно каждого сомножителя:
.
Смешанное произведение векторов дистрибутивно относительно сложения векторов:
.
- компланарны.
Модуль смешанного произведения
равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, если они отложены от одной точки:
.
Используя последнюю формулу, можно вычислить объем треугольной пирамиды, построенной на векторах
.
Пример 9 Найти смешанное произведение векторов
.
Решение: .
Пример 10 Найти объем треугольной пирамиды с вершинами .
Решение: Найдем смешанное произведение векторов , совпадающих с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине А.
.
.
Т.к. объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на данных векторах, то
.
РАЗДЕЛ 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Тема 3.1 Прямая на плоскости
План:
1 Прямая на плоскости
2 Общее уравнение прямой линии на плоскости
3 Расстояние от точки до прямой
4 Параметрические и каноническое уравнения прямой на плоскости
5 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
6 Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Определение углового коэффициента прямой
7 Уравнение прямой в отрезках
8 Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами. Условия параллельности и перпендикулярности
Прямая на плоскости
Рассмотрим уравнение
,
где х и у – произвольные переменные, принимающие действительные значения.
Решением уравнения (1) является пара чисел (упорядоченная), обращающая это уравнение в верное равенство. Заметим, что уравнению (1) может удовлетворять одна пара действительных чисел, несколько и даже бесконечное множество таких пар. Существуют уравнение вида (1), которым не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел.
Зададим на плоскости систему координат Оху. Если рассматривать множество пар значений переменных х и у, удовлетворяющих уравнению (1), как координаты точек на плоскости, то изображение этого множества на плоскости дает график уравнения (1), который есть некоторая линия С.
Уравнением данной линии называется такое уравнение с переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Способы задания прямой на плоскости
Существуют четыре основных способа задания прямой на плоскости.
1 С помощью двух различных точек.
2 Через точку параллельно данному вектору.
Любой вектор , коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.
Из определения следует, что прямая имеет сколько угодно направляющих векторов и все они коллинеарны между собой .
3 Через точку перпендикулярно данному вектору.
Любой ненулевой , перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором этой прямой
.
Каждая прямая имеет сколько угодно нормальных векторов и все они коллинеарны между собой.
4 Через точку под углом к вектору
.