Магнитная индукция движущегося заряда.

Взаимодействие движущихся зарядов. Сила Лоренца

 

Движущийся заряд создает в окружающем его пространстве помимо электрического еще и магнитное поле, существование которого обусловлено релятивистскими свой-ствами пространства и времени. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции . В результате обобщения экспериментальных данных был получен закон, определяющий индукцию поля точечного заряда, движущегося с постоянной нерелятивистской скоростью

, (1.1)

где - радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения, - магнитная постоянная.

Векторперпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , образуя тройку векторов правой ориентации (рис.1.1). Величина обратно пропор–циональна , максимальна в направлении перпендикулярном скорости заряда, и равна нулю в направлении, совпадающим с направлением движения заряда. Линии индукции магнитного поля являются замкнутыми окружностями, “нанизанными” на ось, определяемую вектором (рис.1.2).

Рис.1.1
  Рис.1.2

Силу взаимодействия двух движущихся электрических зарядов можно разделить на две составляющие – электри- ческую и магнитную.

Электрическая составляющая не зависит от движения зарядов и описывается законом Кулона

, (1.2)
где - вектор напряженности электрического поля, создавае- мого вторым зарядом. Магнитная составляющая, зависящая от скорости электрического заряда, имеет следующий вид

, (1.3)

где - магнитная индукция, обусловленная зарядом .

Следовательно, полная сила взаимодействия между движущимися зарядами определяется выражением

. (1.4)
Обобщая эту формулу, можно считать, что на электрический заряд, движущийся в электрическом и магнитном полях, действует сила

. (1.5)
Эту силу называют силой Лоренца.

Выражение для магнитной составляющей силы Лоренца может быть использовано для установления физического смысла и единицы измерения магнитной индукции. Из формулы

следует, что индукция B численно равна силе, которая действует на единичный положительный заряд, движущийся перпендикулярно вектору со скоростью, равной единице:

, .

Единица измерения магнитной индукции называется Тесла (Тл).

 

1.2. Закон Био – Савара - Лапласа и его применение

к расчёту магнитного поля прямого и кругового токов

Используя выражение (1.1) для индукции поля движу- щегося заряда, выведем формулу для индукции поля элемента тока.

Пусть магнитное поле создается произвольным тонким проводником, по которому течет ток (рис.1.3). Выделим элемент проводника dl. Число носителей тока в данном элементе равно

, (1.6)
где n – концентрация носителей, а S – площадь сечения проводника.

Рис.1.3
Рис.1.4
r

Рис.1.3 Рис.1.4

 

Каждый носитель тока создает магнитное поле, индук- ция которого в некоторой точке А определяется выражением

, (1.7)
где - средняя скорость упорядоченного движения носи- телей тока, - вектор, соединяющий с точкой А.

Поле, создаваемое элементом тока dl, будет равно

. (1.8)

Приняв во внимание, что

,
получим закон Био - Савара – Лапласа

, (1.9)

где - угол между векторами и .

Вектор перпендикулярен плоскости, проходящей через dl и точку A, а его направление определяется правилом правого винта.

Результирующее поле, созданное проводником с током , в соответствии с принципом суперпозиции находится путем интегрирования по всем элементам тока.

Воспользуемся формулой (1.9) для расчета индукции магнитного поля прямого и кругового токов. Пусть поле в некоторой точке А создается током , текущим по тонкому прямому проводнику длиной l (рис.1.4). Все в данной точке имеют одинаковое направление (за чертеж), поэтому сложение векторов можно заменить сложением модулей
. (1.10)
Учитывая, что , приведем (1.10) к виду, удобному для интегрирования

.
Интегрируя в пределах от до , получим

. (1.11)

В частности, для прямого тока бесконечной длины ( ), получим

. (1.12)

Вычислим теперь магнитное поле на оси кругового тока. Вектор , создаваемый элементом тока в произ- вольной точке А, лежащей на оси OX, показан на рис.1.5. Векторы от всех элементов контура будут образовывать симметричный конический веер, поэтому результирующий вектор направлен вдоль оси OX.

Рис.1.5
Так как (1.13)

Тогда
. (1.14)
Если учесть, что , то получим окончательно выражение для индукции магнитного поля B на оси кругового тока

. (1.15)
В центре витка (x=0)

, (1.16)

а для

. (1.17)

Введя понятие магнитного момента контура с током
, (1.18)
где S – площадь контура, - положительная нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока правилом правого винта, выражение (1.17) приводится к виду

. (1.19)

Эта формула подобна формуле для напряженности поля электрического диполя на его оси, что дает основание контурный ток называть магнитным диполем. Таким образом, контур с током в магнетизме играет ту же роль, что и электрический диполь в электростатике, а дипольный магнитный момент является аналогом электрического момента .