Знайдіть значення тригонометричних функцій кута ,якщо 1) , .

2) , 0 .

Тема 8. Тригонометричні рівняння

Приклад 1. Розв`яжіть рівняння:

Відповідь:

( 1)

Відповідь:

±(

±( +2 ;

Відповідь:

- +

Відповідь:

, оскільки

Відповідь: коренів не має

, оскільки

Відповідь: коренів не має

9) +1=0

( )

Відповідь:

10)

Відповідь:

11)

2 +

Відповідь:

на

Зверніть увагу!

Відповідь:

13)

Відповідь:

Зверніть увагу!

(

)

функція парна

14)

Відповідь:

Зверніть увагу! a=(

3=(

15)

Відповідь:

Приклад 2.

Розв’яжіть рівняння

Дане рівняння є квадратним відносно . Зробимо заміну змінної, а саме:

Відповідь:

Приклад 3.

Зверніть увагу!

Розв’язати рівняння:

Відповідь:

Приклад 4.Розв’язати рівняння:

Зверніть увагу!

Відповідь:

Рівняння виду

де

числа, називається однорідним рівнянням І степеня.

Метод розв’язання: ділення обох частин рівняння на

Приклад 5.Розв’язати рівняння:

Відповідь:

Рівняння виду , де а, , с – числа, називається однорідним рівнянням ІІ степеня.

Метод розв’язання: ділення обох частин рівняння на

Приклад 6.Розв’язати рівняння :

однорідне рівняння ІІ степеня.

Поділимо ліву частину на праву частину на . Зробимо заміну змінної:

Маємо:

Повертаючись до заміни, маємо:

Відповідь:

Приклад 7.

Зверніть увагу!

Розв’язати рівнння:

Зробимо заміну змінної:

Повертаючись до заміни, маємо:

Відповідь :

Приклад 8.

Розв’язати рівняння:

тоді

Відповідь:

Зверніть увагу!

Приклад 9.

Розв`язати рівняння:

Зверніть увагу!

Приклад 10.

Розв`язати рівняння:

(не має розв'язків)

Відповідь

;2)

;3)

;4)

;5)

;6)

;7)

;8)

;9)

;10)

11)

;12)

;13)

;

14)

; 15)

; 16)

; 17)

; 18)

; 19)

; 20)

Вправи для самостійного розв’язування до теми 8:

Тема 9. Похідна функції

1. Поняття приросту аргументу і приросту функції в точці

Нехай задана функція . Зафіксуємо деяку точку з області визначення функції . Приростом аргументу (позначається , читається «дельта ікс») називається різниця , тобто . Звідси .

Різницю – називають приростом функції.

2. Означення похідної:

Похідною функції , у точці називається границя відношення приросту функції в точці до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля:

3. Геометричний зміст похідної:

Значення похідної функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою та дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної. Отже ,

– кутовий коефіцієнт дотичної.

4.

Рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою :

5. Механічний зміст похідної:

Похідна функції у точці виражає швидкість зміни функції або процесу, який ця функція описує у цій точці. Отже, якщо функція описує рух матеріальної точки, тобто залежність пройденої відстані від часу , то її похідна задає залежність швидкості матеріальної точки від часу .

6. Правила диференціювання:

1)

Обов`язково запам`ятайте!!!

2)

3)

4)

C -число

7. Похідна складеної функції: =

Таблиця похідних

1) const 12) 23)

2) 13) 24)

3) ; 14) 25)

4) 15) 26)

5) 16) 27)

6) 17) 28)

7) 18) 29)

8) 19) 30)

9) 20) 31)

10) 21) 32)

11) 22) 33)

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

1) ;

2) ;

3) ;

4) . Оскільки ,тоді

5)

6)

7) ;

Знайти похідну складеної функції8) :

8) Зверніть увагу

9)

Зверніть увагу

10) Знайти похідну складеної тригонометричної функції:

11) Знайти похідну складеної тригонометричної функції:

12) Знайти похідну функції: Зверніть увагу

;

13) Знайти похідну складеної функції:

Зверніть увагу

14) Знайти швидкість та прискорення точки, що рухається за законом:

15) Скласти рівняння дотичної до графіка функції:

Запам`ятай !

1)

2)
3)
4)

Вправи для самостійного розв’язування до теми 9:
1. Знайдіть похідну функції :
1) = 7 ⁴ – 5 ³ – 4 + 6 ; 4) ;

2) = – + ; 5) 5 ;

3) – ; 6) 8 +9 ;

7) ; 18

8) ; 19)

9) = ( + ) + ( 2 – ) ; 20)

10) = ( ²– 4 ) ( ³ + 1 ) ; 21

11) = ; 22)

12) = (5 + 4)¹⁰;23

13) = ; 24) + ;

14) = ³ ; 25

15) = ; 26 ;

16) = ; 27

17) = ⁴ 7 ; 28) .

2.Обчисліть значення похідної функції у точці , якщо

, = 4

2) , =

2. 1 )Складіть рівняння дотичної до графіка функції ( ) = ² – 4

у точці = 2

2 )Складіть рівняння дотичної до графіка функції ( ) = ² – 4

у точці =

3. Точка рухається за законом :
Знайдіть миттєву швидкість точки у момент .

Тема 10. Застосування похідної до дослідження функції

1. Дослідження функції на монотонність:

Якщо для функції її похідна додатна у кожній точці проміжку , тобто , то функція зростає на цьому проміжку.

Якщо на проміжку ,тофункції спадає на проміжку

Проміжки зростання та спадання функції називають проміжками монотонності.

2. Критичні точки: внутрішні точки області визначення, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

3. Точки екстремуму (точки максимуму та точки мінімуму).

Достатня умова екстремуму

Нехай - критична точка.

Якщо функція неперервна в точці і похідна змінює знак при переході через точку , зліва направо, то – точка екстремуму функції .

Якщо при переході через похідна змінює знак з « » на « », то

– точка максимуму.

Знак

Якщо при переході через похідна змінює знак з на , то – точка мінімуму.

Знак

Якщо при переході через критичну точку зліва направо знак похідної не змінюється, то ця критична точка не є точкою екстремуму.

Екстремумами функції називають значення функції в точках екстремуму .

4. Схема дослідження функції на монотонність та екстремуми

1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти похідну

3) Знайти критичні точки.

4) Позначити критичні точки на області визначення , знайти знак похідної та поведінку функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.

5) Визначити для кожної критичної точки , чи є вона точкою максимуму або мінімуму , чи вона не є точкою екстремуму.

6) Записати результати дослідження (проміжки монотонності та екстремуми).

5. Схема знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку :
1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти похідну .

3) Знайти критичні точки.

4) Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку .

5) Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка

6) Порівняти одержані значення функції й вибрати з них найбільше та

найменше.

6. Схема дослідження функції для побудови її графіка:

1) Знайти область визначення функції.

2) Дослідити на парність (непарність), періодичність.

3) Знайти точки перетину графіка з осями координат.

4) Знайти похідну .

5) Знайти критичні точки.

6) Знайти проміжки монотонності.

7) Знайти точки екстремуму та значення функції в цих точках.

8) Побудувати графік функції.

Приклад 1.
Знайти критичні точки функції:
= ³ + ² – + 7.
1. Знайдемо область визначення функції :

2. Знайдемо похідну
= 3 ² + 2 – 1 = 2