Под определителем третьего порядка понимается выражение 2 страница
11.
Здесь и
дифференцируемые функции от
, а
– постоянная.
Геометрический смысл производной
Производная функция представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в любой ее точке.
Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке
имеет вид
, где
,
.
Физический смысл производной. Если тело движется прямолинейно по закону , то производная пути
по времени
равна скорости движения тела в данный момент времени
:
.
Производной второго порядка функции называется производная от первой производной, т.е.
.
Физический смысл второй производной. Если тело движется прямолинейно по закону , то вторая производная пути
по времени
равна ускорению движения тела в данный момент времени
:
.
Пример. Найти производные функций:
.
Решение. а) дифференцируем функцию по формуле ,
.
б) воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции: , получим
.
в)
.
Вопросы и упражнения для самопроверки.
1. Дайте определение производной.
2. Запишите формулы производной произведения, частного.
3. В чем состоит геометрический смысл производной?
4. Как найти скорость движения тела, если задан закон прямолинейного движения?
5. Запишите уравнение касательной к кривой в точке
.
6. В чем состоит физический смысл второй производной?
7. Запишите формулу производной сложной функции.
8. Найдите , если
.
Приложения производной к исследованию функций.
Литература. [1] гл. 3 § 18,19, [2] гл. 11 § 1,2, 7-10, [3] гл. 9 §86-96.
Дифференцируемая функция возрастает на промежутке
, если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.
Дифференцируемая функция убывает на промежутке
, если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.
Функция имеет в точке
максимум, если для всех
, достаточно близких к
, выполняется неравенство
.
Функция имеет в точке
минимум, если для всех значений
достаточно близких к
, выполняется неравенство
. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума функции.
Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в этой точке
. Точки в которых
называются критическими.
Первое достаточное условие существования экстремума функций. Если при перехода через критическую точку производная меняет знак, то
точка экстремума. При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то
точка максимума, а
. Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то
точка минимума, а
.
Говорят, что на промежутке кривая обращена выпуклостью вверх, или выпукла, если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке.
Говорят, что кривая на промежутке обращена выпуклостью вниз или вогнута, если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке.
Точка, в которой меняется направление вогнутости кривой, называется точкой перегиба.
График дифференцируемой функции является вогнутым на промежутке
, если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка.
График дифференцируемой функции является выпуклым на промежутке
, если вторая производная функции отрицательна в каждой точке этого промежутка.
Необходимым условием точки перегиба дифференцируемой функции является равенство нулю второй производной, а достаточным условием является то, что при переходе через эту точку меняет знак.
Прямая является вертикальной асимптотой, если
. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
,где
,
,при условии, что оба эти предела существуют.
Исследование функции в построение графиков можно проводить по следующей схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Установить нечетность, четность и периодичность функции.
3. Найти точки разрыва.
4. Найти асимптоты.
5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
6. Найти направление вогнутости и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и при необходимости, несколько дополнительных точек.
8. Построить график, используя результаты исследования.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. Функция определена для всех значений , кроме
.
, следовательно, функция четная и график ее будет симметричен относительно оси
.
и
- вертикальные асимптоты.
Найдем наклонные асимптоты .
,
. Таким образом, прямая
является горизонтальной асимптотой. Найдем интервалы возрастания, убывания функции и точки экстремума.
. Находим критические точки, где
.
;
;
. Производная
не определена при
. Область определения функции разбивается на четыре участка монотонности.
При , следовательно, функция возрастает.
При , следовательно, функция возрастает.
При - функция убывает.
При - функция убывает.
При переходе через точку
меняет знак с
на -, следовательно,
будет точкой максимума.
.
Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. .
не существует при
.
При , следовательно, график вогнутый.
При следовательно, на этом интервале график выпуклый.
При следовательно, график вогнутый.
Точек перегиба график не имеет. Построим график.
Вопросы и упражнения для самопроверки.
1. Сформулируйте необходимые условия экстремума функции.
2. Как найти промежутки возрастания и убывания функции?
3. В чем состоит достаточное условие экстремума?
4. Как найти промежутки выпуклости и вогнутости кривой?
5. Как найти точки перегиба кривой?
6. Найдите точки экстремума функции:
Неопределенный интеграл.
Литература. [1] гл. 4 §20, 21, 28 упр1-89 [2] гл.11 §102-104 [3] гл. 13 §1-5, 10, упр. 1-32.
Как известно основная задача дифференциального исчисления сводится к нахождению по заданной функции ее производной. Неопределенный интеграл решает обратную задачу: по заданной производной находят первоначальную функцию.
Функцию называют первообразной для функции
в интервале
, если
имеет место равенство
. Так для функции
первообразной служит функция
, так как для любого
; для функции
первообразной является функция
поскольку
и т.д.
Если -первообразная для функции
, то множество функций
, где
- произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом от функции
и обозначают символом
.
Например, , так как
.
Приведем основные свойства неопределенных интегралов (Н.И.).
1. Производная от Н.И. равна подынтегральной функции, а дифференциал -подынтегральному выражению, т.е.
.
2. Н.И. от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольное постоянное, т.е. .
3. Постоянный множитель можно выносить за знак Н.И.:
4. Н.И.от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов: .
Таблица простейших интегралов имеет вид:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11.
Основными методами интегрирования являются: разложения, подстановки, по частям. Интегрирование методом разложения заключается в приведении данного интеграла (по свойству 4) к сумме более простых или табличных интегралов. Метод подстановки имеет в виду следующее: положив в интеграле
,
получим
. При интегрировании по частям берут формулу дифференциала произведения:
и из нее после интегрирования обеих частей получают формулу
. Эта формула применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функций, например:
или
.
При этом за принимают функцию, которая дифференцированием упрощается, а за
та часть подынтегрального выражения содержащая
, интеграл от которой известен или может быть найден. Например, в интеграле
за
нужно принять
, а в интеграле
положить
.
Пример. Найти неопределенные интегралы:
а) б)
в)
.
Решение.
а)
.
б) применим метод подстановки. Положим ; тогда
, откуда
.
Получаем .
в) применим формулу интегрирования по частям. Обозначим ,
, тогда
,
.
Получаем
.
Определенный интеграл.
Литература. [1] §23, 24, 26, 28, упр 108-113, 116-125,150-152. [2] гл. 14 §1-9
Пусть на отрезке определена функция
. Разобьем отрезок
на
произвольных частей точками
. На каждом отрезке
возьмем произвольную точку
, вычислим значение функции в этой точке
и составим сумму:
, где
. Эту сумму называют интегральной суммой функции
по отрезку
. Предел суммы
при условии, что длина наибольшего из отрезков
стремится к нулю
, если он существует, и не зависит ни от способа разбиения, ни от способа выбора точек
, называется определенным интегралом функции
в пределах от
до
и обозначается
. Функцию
в этом случае называют интегрируемой на отрезке
. Всякая ограниченная на отрезке
функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема.
В частности интегрируема любая непрерывная на отрезке функция, так как в этом случае для нее существует Н.И.
и имеет место формула
, которая называется формулой Ньютона – Лейбница.
Если непрерывная кривая задана уравнением
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми
и отрезком
определяется формулой
. В общем случае, если площадь ограничена двумя кривыми
, где
, двумя прямыми
и отрезком
имеет место формула
.
Пример. Вычислить интегралы а) . б)
.
Решение.
а) произведем подстановку ; тогда
. Определим пределы для переменной
.
.
Тогда
.
б) положим , тогда
,
. Определим пределы интегрирования для переменной
:
. Тогда
.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .