Уравнение плоскости в пространстве.
Задача 9. Построить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1,2,3) перпендикулярно вектору (1,4,2)
Решение. Для произвольной точки в плоскости, вектор
с координатами
ортогонален
. Их скалярное произведение 0. Тогда
, т.е.
.
Ответ. Уравнение плоскости .
Задача 10. Построить уравнение плоскости по точке (2,2,8) и перпендикуляру (3,3,7).
Решение.Как и в прошлой задаче, берём произвольную точку в плоскости, тогда вектор
ортогонален вектору
. Тогда
из чего следует
.
Ответ. .
Задача 11.То же самое с произвольными параметрами.
Задача 12. Построить уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам
(4,2,3) и
.
Решение. Способ 1.Сначала можно найти нормаль как векторное произведение: , а затем уравнение плоскости по точке и нормали.
=
=
.
Итак, нормаль , при этом можно заметить, что есть общий множитель 3, и поделить на 3, ведь от изменения длины, направление нормали не изменится. Итак, рассматриваем
.
Теперь возьмём произвольную точку в этой плоскости, и проведём к ней вектор от точки . Это вектор
. Он ортогонален вектору
.
Тогда , т.е.
.
Но это было решение в 2 этапа. А можно проще:
Способ 2. Возьмём вектор в плоскости, тогда 3 вектора, а именно
,
(4,2,3) и
должны образовывать линейно-зависимую систему. То есть, можем сразу найти такой определитель и приравнять к 0:
=
=
.
Из этого следует . Такое уравнение можно сократить на 3, и получается
.
Ответ. .
Задача 13. Построить уравнение плоскости, проходящей через (0,0,0) параллельно 2 направляющим (1,1,2) и (2,1,3).
Решение. Вектор от начала координат до произвольной точки , который сам имеет координаты
, лежит в плоскости двух направляющих, т.е. определитель равен 0.
=
.
Ответ. .
Задача 14. Построить уравнение плоскости по трём точкам. А(1,2,3), В(3,5,7), С(4,5,6).
Решение.Здесь можно одну из точек, например А, рассматривать в качестве основной, а две другие помогут найти 2 направляющих вектора: АВ и АС. АВ = (2,3,4), АС = (3,3,3).
Для удобства вычислений, вынесли из определителя коэффициент 3.
Можно сразу сократить на него правую и левую часть.
Итак,
.
Сократим ещё на , получим
.
Ответ. .
Практика 12 (21 октября у обеих групп).
Плоскость. Прямая в пространстве.
Практика 13. Кривые и поверхности.
Практика 14. Повторение и контрольная работа.
Темы 2-й контрольной:
5. Векторная алгебра (скалярные, векторные произведения).
6. Системы уравнений, метод Гаусса
7. Собственные числа и векторы
8. Уравнения прямой и плоскости
Приложение 1.
Пример одного варианта контрольных работ.
Темы 1-й контрольной:
1. Действия над матрицами.
2. Определители.
3. Обратная матрица.
4. Ранг матрицы.
Вариант:
1) Умножить матрицы
2) Найти определитель
3) Найти обр.матрицу
4) Найти ранг матрицы
Темы 2-й контрольной:
5. Векторная алгебра (скалярные, векторные произведения).
6. Системы уравнений, метод Гаусса
7. Собственные числа и векторы
8. Уравнения прямой и плоскости
Вариант:
5) Векторы выражены через
:
,
.
,
, угол между ними 60 градусов. Найти
.
6) Решить систему
7) Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей .
8) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1,4,2) перпендикулярно вектору (2,1,2).
Литература.
[1]. Магазинников Л.И. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии.
[2].
[3].