Интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть на отрезке [a;b] даны n+1 различных значений аргумента x: x₀, x₁,…, x_n и известны соответствующие их значению функции y=f(x) : f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁, f(x_n)=y_n. Требуется построить полином степени не выше , имеющий в заданных узлах те же значения, что и функция , т.е. L_n(x_i)=y_i при i=1,n

;

,

где L_i⁽ⁿ⁾- коэффициенты Лагранжа.

Следует отметить, если узлы равностоящие, то интерполяционный полином Лагранжа совпадает с интерполяционной формулой Ньютона.

Примечательно то, что формула Лагранжа зависит лишь от y_i, а не от разностей.

Частные случаи.

n=1

При n=1 имеем 2 точки: (x₀;y₀) и (x₁;y₁).

прямая, проходящая через эти точки-

n=2 (x₀;y₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂)

Пример:

L₃(x)=x³+x²-x+2

Для вычисления лагранжевых подмножеств удобно составлять следующую таблицу разности:

Обозначим произведение элементов i-ой строки через D_i , а произведение главной диагонали П_n+1(x). Отсюда следует, что:

П_n+1(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n)

при i=1,n

Для упрощения вычислений можно использовать инвариантность (при равноотстоящих точках лагранжевых коэффициентов),если

x= at+b

x_j= at_j+b при j=0,n

то L_i⁽ⁿ⁾(x)= L_i⁽ⁿ⁾(t)

Схема Эйткена

Чаще всего требуется найти не общее выражение L_n(x) , а значение его при конкретных x , тогда будет удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена:

Последовательно вычисляются многочлены:

и т.д.

Вычисления по схеме Эйткена удобно расположить в таблице:

Вычисления по схеме Эйткена обычно ведутся до тех пор, пока последовательные значения L_01…n(x) и L_01…n(n+1) не совпадут по заданной точности.

Т.е. процедура является итерационной, легко реализуется и этим обеспечивает возможность автоматического контроля точности вычислений.

Пример: x=27, =0,1

Формула Ньютона для неравностоящих узлов

Разделённые разности

Если в таблицах встречаются неравноотстоящие значения аргумента, т.е. таблицы с переменным шагом, то вводят понятие разделённых разностей.

Пусть функция задана таблично, где

- значения аргумента

- значения функции

отношения - разделённая разность первого порядка

- разделённая разность второго порядка

- разделённая разность -го порядка

Разделённые разности удобнее всего рассматривать в таблице - таблице разностей

				Разделённые разности
		1-го	2-го	3-го	4-го

Интерполяционная формула Ньютона для неравностоящих значений аргумента

Дано - значения аргумента

- значения функции

Апроксимировать таблично заданную функцию полиномом порядка не выше

Пример:

		1-го	2-го	3-го
	1,450
		1,127
1,5	3,140		-0,098
		0,795		- 0,012
3,4	4,650		-0,18
		-0,159
6,8	4,110

Погрешность формулы Ньютона для неравностоящих узлов

где - промежуточное значение между точками и

Интерполяция сплайками

Даны: , разбитый на разные отрезки с узлами

и соответствующие им значения функции

Сплайком называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на заданном отрезке , и на каждом частичном отрезке в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом, причём степени многочлена различны.

Степень сплайка - максимальная степень многочлена.

Дефект сплайка - разность между степенью сплайка и порядком наивысшей производной на отрезке .

На практике широкое применение получили кубические сплайки.

Таким образом для интерполяции сплайками, необходимо знать не только значения функции в точках и ; а ещё и их производные

- наклон сплайка

Как задаётся наклон сплайка?

1. Упрощённый способ

2. Если известны значения =>

3. Глобальный

Сплайки являются наиболее удобным средством апроксимации функций на небольших промежутках, то есть .

При апрксимации функций интерполяционными многочленами можно потребовать очень высокой степени полиномы, тогда как разбиения на участки, содержащих несколько участков, правда при этом в савке двух многочленов первая производная терпит разрыв.

Многочлены Чебышева

Особенность интерполяции функции многочленами Чебышева заключается в том, что приведённые многочлены минимизируют максимальную погрешность

• ⇐ Назад
• 123
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• Далее ⇒