Частини, суграфи і підграфи графу.
Операції з частинами графу
Визначення. Граф Н називається частиною графу G (позначається H Í G), якщо:
а) V(H) Í V(G);
б) E(H) Í E(G).
Визначення. Граф Н називається суграфом графу G, якщо він є частиною графу G і
V(H) = V(G).
На Рис. 4 зображені граф G і його три частини. Граф H3 є суграфом.
Рис.4.
Визначення. Суграф H називається покриваючим для графу G, якщо будь-яка вершина H інцидентна хоча б одному ребру з G. Зауважимо, що якщо в графі G є ізольовані вершини, то для нього не існує покриваючого графу H.
Визначення. Підграфом G(U) графу G(V) називається така його частина, яка містить всі ребра графу G(V), що з’єднують дві будь-які вершини з множини U.
На рис. 4 H1 не є підграфом G (не містить ребро e(2, 4)), а H2 – підграф графу G.
Визначення. Зірковим графом, який визначається деякою вершиною a Î V, називається граф, що містить всі ребра даного графу G(V), інцидентні вершині „a”.
За аналогією з операціями поміж множинами можна виконувати і операції між графами.
Визначення. Якщо H – частина графу, то 
(доповнення графу H) – це граф, в який входять всі ребра графу G, які не належать H:
.
Визначення. Нехай H1 і H2 - дві частини графу G. Тоді H = H1 È H2 (об’єднання або сума) це також частина графу G, яка складається зі всіх ребер, що належать або H1 або H2.
Визначення. Нехай H1 і H2 - дві частини графу G. Тоді H = H1 Ç H2 (перетин) це частина графу G, яка складається зі всіх ребер, що належать H1 та H2 одночасно.
Визначення. Якщо дві частини H1 і H2 графу G не мають спільних вершин, то їх сума H = H1 È H2 називається прямою. Якщо H1 і H2 не перетинаються по ребрах, то їх сума називається прямою по ребрах.
Наприклад: 
- пряма сума за ребрами.
Маршрути, ланцюги і цикли
Деякі визначення
Нехай G - неорієнтований граф.
Визначення. Маршрутом в G називається скінченна або нескінченна послідовність ребер S = {…, e0, e1, …, en, …} в якій кожні два сусідні ребра ei - 1 і ei мають спільну вершину, тобто
e0 = (v0, v1)
e1 = (v1, v2)
e2 = (v2, v3)
. . .
en = (vn, vn + 1).
Визначення. Якщо в S немає ребер, які стоять перед e0, то v0 називається початковою вершиною S; якщо немає ребер після en - 1, то vn - кінцевою вершиною. Якщо вершина vi належить і ei - 1 і ei, то вона називається внутрішньою.
Визначення. Якщо маршрут S має початкову і кінцеву вершини, то він називається скінченним; якщо S має початок і не має кінцевої вершини (або навпаки), то він називається односторонньо-нескінченним; якщо немає ні початкової вершини ні кінцевої – то двосторонньо-нескінченними. Якщо S має початкову вершину v0 і кінцеву vn, то позначається
S = S(v0, vn)
(тобто S - це маршрут довжини n, який з’єднує вершини v0 і vn ).
Визначення. Якщо v0 = vn, то маршрут називається циклічним.
Визначення. Якщо vi і vj - дві вершини маршруту S, то
S(vi, vj) = (ei, …, ei + 1, …, ej - 1)
називається підмаршрутом.
На рис.5 маршрут S = (e1, e2, e3, e4, e5) є скінченним, має довжину 5, початкову вершину v1 і кінцеву v5. Маршрут S = (e2, e3, e4) є підмаршрутом даного маршруту.
Рис.5
Визначення. Ланцюг – це маршрут, кожне ребро якого зустрічається рівно один раз. Циклічний ланцюг називається циклом.
Визначення. Нециклічний ланцюг називається простим, якщо в ньому жодна вершина не повторюється. Цикл з початком (і кінцем) в v0 називається простим, якщо в ньому жодна вершина, крім v0 не повторюється.
Зрозуміло, що частина ланцюга або циклу теж є ланцюгом або циклом.
Для орієнтованих графів вводяться в розгляд як неорієнтовані маршрути (ланцюги) (тобто не приймається до уваги орієнтація ребер), так і орієнтовані маршрути (ланцюги).
Зв’язаність
Нехай G - неорієнтований граф.
Визначення. Дві вершини „a” і „b” графу G називаються зв’язними, якщо існує маршрут S(a, b).
Якщо в S(a, b) деяка вершина vi повторюється більше одного разу, то відкидаючи циклічну ділянку S(vi, vi), отримаємо новий маршрут S’(a, b), в якому вершина vi зустрічається тільки один раз. Повторюючи цю процедуру для всіх таких вершин vi, приходимо до висновку: якщо дві вершини в графі можуть бути зв’язані маршрутом, то існує і простий ланцюг, який зв’язує ті ж вершини.
Визначення. Граф G називається зв’язним, якщо зв’язна будь-яка його пара вершин.
Всі підграфи G(Vi) зв’язного графу G(V) є теж зв’язними і називаються зв’язними компонентами графу.
Зауважимо, що зв’язність – відношення еквівалентності між вершинами графу:
а) довільна вершина v графу зв’язана сама з собою;
б) якщо „a” і „b” – зв’язні (тобто існує маршрут S(a, b)), то в силу неорієнтованості графу „b” і „а” теж зв’язані (маршрутом S(b, a));
в) якщо зв’язані „а” і „b” (маршрутом S1(a, b)) і „b” і „с” (маршрутом S2(b, c)), то існує маршрут з „а” в „с” (S1(a, b) + S2(b, c)), тобто вершини „a” і „c” теж зв’язані.
В силу відомого твердження з алгебри, граф G розбивається на класи еквівалентності – підграфи, в яких всі вершини є зв’язаними між собою і які не мають спільних вершин:
, 
(пряма сума)
таким чином, істинне
Твердження. Довільний неорієнтований граф розбивається на пряму суму своїх зв’язаних компонент.
Це дозволяє більшість задач зводити до випадку зв’язаних графів.