Преобразование декартовых координат
Параллельный перенос СК
Пусть 
, 
, 
, 
, 
,
, тогда 
,
, 
,
.
Таким образом, в системе 
координаты точки 
.
Поворот СК на плоскости
Введем четыре СК: 
,
: 
.
: 
.
= 
= = 
.
= 
=
= 
.
§ 5. Приведение общего уравнения линии
2-го порядка к каноническому виду
Задача: по общему виду уравнения кривой 2-го порядка определить тип кривой и построить ее.
Будем рассматривать только случай, когда В=0, т.е. уравнение линии 2-го порядка имеет вид:
.
Метод решения данной задачи – выделение полного квадрата: 
(рабочая формула).
После выделения полного квадрата и перегруппировки слагаемых получим:
1) если 
, то 
;
2) если 
, то 
;
3) если 
, то 
.
Сделаем параллельный перенос системы координат:
, 
.
В новой системе координат уравнение примет канонический вид. С учетом переноса СК, получим одну из следующих кривых:
– эллипс;
–гипербола;
– парабола;
– парабола.
ПР. 
. (эл.)
Плоскость.
Общее уравнение плоскости
В ДПСК в пространстве плоскость 
задается уравнением 1-й степени:
. (13)
Опр. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется ее нормалью.
Нетрудно установить (см. §1, п.1), что вектор 
. Таким образом, геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости состоит в том, что они дают координаты нормали плоскости.
Проведем анализ общего уравнения плоскости (13).
Если 
, то плоскость проходит через начало координат: 
.
Если , то 
, т.к. 
.
Если 
и , то содержит ось Oz.
Если A=0, B=0, то 
.
Если A=0, B=0, 
, т.е. : 
.
Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.
2. Уравнение плоскости в «отрезках»
Пусть в уравнении (13) 
. Разделим обе части уравнения на (–D), получим
, (14)
где 
− это отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. Уравнение (14) называется уравнением плоскости в «отрезках».
Пр. 6x-4y+3z-12=0.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Даны точка 
и вектор 
. Составим уравнение плоскости .
Пусть точка 
. Тогда 
. Следовательно, 
. Получаем уравнение плоскости :
. (15)
ПР.Найти уравнение плоскости , проходящей через 
перпендикулярно вектору 
. 
4. Уравнение плоскости, проходящей
через три данные точки
Пусть заданы три точки 
, 
, 
. Составим уравнение плоскости .
Пусть точка . Тогда 
компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю: ( 
)=0. Получаем:
=0. (16)
Замечание. Если точки 
лежат на одной прямой, то векторное произведение 
. Тогда уравнение (16) справедливо для любой точки М. Это означает, что через любую точку пространства проходит плоскость, содержащая точки .
ПР. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки: 
, 
.
Угол между плоскостями
Опр. Углом между плоскостями называется меньший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями:
Найдем угол между ними.
или 
. Следовательно,
.
Условие параллельности плоскостей:
.
Условие перпендикулярности плоскостей:
.
ПР. Найти угол между плоскостями 5x-2y+z+2=0 и x+3z+3=0. 
Прямая в пространстве.
Общие уравнения прямой.
Прямую в пространстве понимают как линию пересечения двух плоскостей: 
. Поэтому общими уравнениями прямой в пространстве называют уравнения
(17)