Исследование функций и построение графиков
Полное исследование функции 
для построения ее графика включает следующие пункты (не обязательно именно в этом порядке).
1) Область определения функции (ООФ) и область ее значений (ОЗФ).
Если область определения функции не задана специально, то считают, что она совпадает с областью допустимых значений ее аргумента, т.е. с множеством всех точек х, где выполнима операция f. При нахождении ООФ используют ООФ элементарных функций 
, 
, 
, и др.
Область значений функции находят только в случаях, когда ее можно сразу указать, опираясь на свойства элементарных функций, например, для функции 
, очевидно, 
.
2) Четность функции, ее периодичность.
Для установления четности (нечетности) функции , имеющей симметричную область определения, проверяют справедливость равенств 
( 
) для всех 
ООФ.
В случае четности или нечетности функции исследование ее поведения и построение графика можно проводить только для 
, а затем достроить график, используя симметрию: для четной функции график симметричен относительно оси OY, а для нечетной – относительно начала координат.
Для установления периодичности функции проверяют справедливость равенства 
для 
ООФ, где Т определяется видом функции, для всех 
ООФ. В случае периодической функции исследование проводят для одного промежутка периодичности.
3) Непрерывность функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты.
Для определения промежутков непрерывности функции используют непрерывность основных элементарных функций. В точках, «подозрительными» на разрыв (отдельных точек, не входящие в ООФ), проверяют выполнение условий непрерывности. Если функция терпит разрыв в точке х0, то определют тип разрыва.
Если функция имеет бесконечный разрыв в некоторой точке х0, то прямая х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции. Если только один из односторонних пределов при 
х0– 0 или 
х0+ 0 является бесконечным, то асимптота называется односторонней.
Если функция определена не на всей числовой оси, то необходимо вычислить односторонние пределы функции в точках, ограничивающих промежутки ООФ. Если односторонний предел функции в точке а, ограничивающей промежуток ООФ, бесконечен, то х = а является односторонней вертикальной асимптотой графика функции. Например, если ООФ: 
, то нужно найти 
; если этот предел окажется бесконечным, то х = а является односторонней вертикальной асимптотой графика функции.
4) Промежутки монотонности и экстремумы.
Для определения промежутков монотонности функции используют достаточный признак монотонности.
Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:если на интервале хÎ(а, b) производная 
сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно: если 
, то f(x) возрастает, если 
, то f(x) убывает.
Для установления точек экстремумов функции используют необходимый и достаточные признаки существования экстремума.
Необходимое условие существования экстремума функции: если непрерывная функция имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.
Точки, принадлежащие ООФ, в которых производная 
равна нулю или не существует, называют критическими точками функции по ее первой производной (точками, «подозрительными на экстремум»).
Первый достаточный признак существования экстремума:если при переходе через критическую точку х0 (слева направо) производная 
изменяет свой знак, то в точке х0 есть экстремум причем, это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х0 производная не изменяет свой знак, то в точке х0 нет экстремума функции 
.
Второй достаточный признак существования экстремума по первой производной: если 
– дважды дифференцируемая функция в точке х0 и 
, тогда: если 
, то х0 – точка минимума функции, а если 
, то х0 – точка максимума.
Для нахождения точек экстремумов функции сначала находят критические точки, принадлежащие ООФ. После этого проверяют выполнение в них достаточных условий существования экстремума функции.
5) Промежутки выпуклости, вогнутости графика и точки перегиба.
Дуга кривой L называется выпуклой, если все ее точки расположены не выше касательной, проведенной в любой точке этой дуги (рис. 3), и называется вогнутой, если все ее точки расположены не ниже касательной, проведенной в любой точке дуги кривой.
Точки, принадлежащие кривой, и отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости, называются точками перегиба кривой (рис. 3).
Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции: если функция является дважды дифференцируемой и ее вторая производная 
сохраняет знак при всех xÎ(a;b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале: при 
<0 – выпуклость вверх, при >0 – вогнутость (выпуклость вниз).
Необходимое условие для точки перегиба: если х0 – абсцисса точки перегиба графика функции , то ее вторая производная в этой точке равна нулю или не существует.
Точки, принадлежащие графику функции , в которых 
или 
не существует, называются критическими точками функции по ее второй производной (точками, «подозрительными на перегиб»).
Достаточное условие для точек перегиба: если вторая производная при переходе через точку х0, подозрительную на перегиб, изменяет знак, то точка графика с абсциссой х0 является точкой перегиба. Если не изменяет знак при переходе через точку х0, то перегиба нет.
При нахождении промежутков выпуклости, вогнутости графика функции сначала находят критические точки по второй производной, после этого выделяют промежутки знакопостоянства второй производной на ООФ: если 
, то кривая вогнутая, а если 
, то кривая выпуклая. Точки перегиба определяют, используя достаточные условия перегиба.
6) Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, расстояние до которой от текущей точки М кривой стремится к нулю при удалении точки М от начала координат (рис. 4).
Если график функции имеет наклонную асимптоту с уравнением 
, то параметры k и b в уравнении асимптоты можно найти по формулам:
, (11)
. (12)
Если хотя бы один из этих пределов бесконечный или не существует, то наклонных асимптот нет. В случае, когда k = 0, график имеет горизонтальную асимптоту с уравнением y = b. В некоторых случаях (как правило, если f(x) выражена через показательную или логарифмическую функцию), график может иметь асимптоты только при 
или только при 
.
Иногда ветви графика при и при имеют разные асимптоты.
7) Точки пересечения графика с осями координат или другие дополнительные точки графика.
Дополнительные точки графика находят в случаях, когда недостаточно информации для выбора масштаба по осям координат, т.е. когда на некотором промежутке ООФ нет ни точек экстремумов, ни точек перегибов, ни точек пересечения графика с осями координат.
Примеры решения задач.
Задача 1. Найти производную 
:
а) 
; б) 
.
Решение. а) Функция у(х) задана в явном виде и является отношением двух функций: 
Будем искать ее производную по формуле (5):
Найдем производные ее числителя и знаменателя:
.
(здесь использованы формулы (3), (4), (6) и «правило цепочки»);
(здесь использованы формулы (2), (3) и «правило цепочки»).
Теперь получаем:
.
Преобразование результата не производим, поскольку оно не дает существенного упрощения выражения для .
б) Равенство 
есть уравнение вида 
, которое неявно задает функцию 
. Для нахождения продифференцируем обе части тождества 
по аргументу х и из полученного равенства найдем как решение линейного уравнения:
.
Производная неявно заданной функции зависит от аргумента х и функции у, поэтому в ответе нужно отразить их взаимосвязь:
, где 
.
Задача 2.Провести исследование функции и построить ее график.
.
Решение. Проведем полное исследование функции .
1) ООФ: 
т.е. 
.
2) Функция не может быть четной или нечетной, т.к. имеет несимметричную относительно начала координат ООФ. Следовательно, эта функция общего вида, симметрию графика предсказать нельзя. Функция непериодическая.
3) Функция непрерывна на всей ООФ, т.к. является элементарной функцией. Точка 
является точкой разрыва, т.к. функция не определена в этой точке, но определена в ее окрестности.
Для определения типа разрыва найдем односторонние пределы при 
:
, 
(здесь при числитель является ограниченной функцией, а знаменатель – бесконечно малой). Следовательно, в точке 
функция терпит разрыв 2-го рода и 
– уравнение вертикальной асимптоты.
4) Промежутки монотонности и экстремумы найдем при помощи 1-й производной:
.
Критические точки по 1-й производной:
х = 0, х = 2; не существует 
.
Точка 
не является критической точкой, т.к. 
ООФ. Следовательно, имеем две критические точки х = 0 и х = 2.
Проверим выполнение достаточных условий монотонности и экстремума по знаку 1-й производной.
На рис.6 видно, что функция возрастает на интервалах 
и 
, убывает на интервалах 
и 
.
В точке х = 0 есть минимум функции, 
, в точке х = 2 есть максимум, 
.
5) Выпуклость, вогнутость графика и точки перегиба исследуем при помощи 2-й производной:
Критические точки по 2-й производной: 
х = 0, 
; 
не существует 
. Точка 
не является критической точкой, т.к. 
ООФ. Следовательно, критическими точками по второй производной являются точки х = 0 и 
.
Проверим выполнение достаточных условий выпуклости, вогнутости графика функции по знаку 2-й производной. На рис. 7 видно, что график функции выпуклый на интервалах 
, 
, и вогнутый на интервале 
. В точке 
имеется перегиб графика, 
.
6) Найдем наклонные асимптоты графика y = kx + b при 
по формулам (11), (12).
;
Следовательно, наклонная асимптота графика имеет уравнение 
.
7) Точка пересечения с осями координат – единственная: (0; 0), т.к. 
.
8) Построение графика начинаем с построения асимптот 
и 
, затем отмечаем точки минимума (0; 0), максимума 
и точку перегиба 
. После этого выполняем построение графика функции сначала на промежутках 
и 
, затем на промежутке 
.
На графике (рис. 8) видны сближение кривой с асимптотами при удалении от начала координат и перегиб кривой.
Контрольные задания.
1. Найти следующие производные.
4.1.1. а) 
; б) 
;
4.1.2. а) 
; б) 
;
4.1.3. а) 
; б) 
;
4.1.4. а) 
; б) 
;
4.1.5. а) 
; б) 
;
4.1.6. а) 
; б) 
;
4.1.7. а) 
; б) 
;
4.1.8. а) 
; б) 
;
4.1.9. а) 
; б) 
;
4.1.10. а) 
; б) 
;
4.1.11. а) 
; б) 
;
4.1.12. а) 
; б) 
;
4.1.13. а) 
; б) 
;
4.1.14. а) 
; б) 
;
4.1.15. а) 
; б) 
;
4.1.16. а) 
; б) 
;
4.1.17. а) 
; б) 
;
4.1.18. а) 
; б) 
;
4.1.19. а) 
; б) 
;
4.1.20. а) 
; б) 
.
2. Провести полное исследование функции и построить ее график.
4.2.1. 
; 4.2.11. 
;
4.2.2. 
; 4.2.12. 
;
4.2.3. 
; 4.2.13. 
;
4.2.4. 
; 4.2.14. 
;
4.2.5. 
; 4.2.15. 
;
4.2.6. 
; 4.2.16. 
;
4.2.7. 
; 4.2.17. 
;
4.2.8. 
; 4.2.18. 
;
4.2.9. 
; 4.2.19. 
;
4.2.10. 
; 4.2.20. 
.