Линейные операции над векторами в координатной форме
1. При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.
2. При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются).
3. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.
Зная проекции вектора 
, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно записать
,
т.е.
| (4) |
Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат
| (5) |
Найдем координаты вектора 
, если известны координаты точек А(х1;у1;z1) и В(х2;у2;z2) (рис.5).
Рис. 5
= 
.
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала
.
Пример 1.
По данным векторам 
и 
найти координаты вектора 
.
Решение:
Вектор 
. Координаты вектора 
.
Пример 2.
Проверить коллинеарность векторов 
и 
.
Решение:
Если векторы 
и 
коллинеарны, то должно выполняться условие = 
или в координатной форме
.
Для заданных векторов 
.
Следовательно, векторы и 
коллинеарны.
При этом 
и 
, то есть модуль вектора равен 
модуля . Знак «–» указывает, что векторы направлены в противоположные стороны.
Направляющие косинусы
Пусть углы вектора с осями ОX, ОY и ОZ соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем
| (6) |
Или 
.
Числа 
называются направляющими косинусами вектора .
Подставив выражение (6) в равенство (4), получим
.
Сократив на 
, получим соотношение
,
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
Координатами единичного вектора 
являются числа 
, т.е. 
.
Задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.
Пример 3.
Проекции вектора на оси координат равны ax=1, ay=–4, az=8. Найти длину вектора , его направляющие косинусы.
Решение:
По формуле 
имеем 
.
Используя формулы
, 
, 
находим направляющие косинусы вектора
.
Пример 4.
Найти равнодействующую двух сил 
и 
, модули которых равны F1 = 5, F2 = 7, угол между ними θ = 60°.
Решение:
По формуле 
находим 
Пример 5.
Даны два вектора: 
и 
. Найти проекции на координатные оси суммы и разности этих векторов.
Решение:
Составим сумму и разность этих векторов:
Пример 6.
Дан вектор. 
Найти его проекцию aL на ось L, составляющую с координатными осями равные острые углы.
Решение:
По условию направляющие косинусы оси проекций между собой равны:
Но сумма квадратов направляющих косинусов какого-либо направления равна 1, а потому 
Так как в этой сумме все слагаемые между собой равны, то
Тогда 
Знак «+» перед корнем взят потому, что по условию углы λ, μ и ν – острые, а значит, косинусы их положительны.
Так как по условию ax = 2; ay = 5; az = 1, то по формуле
aL=axcos λ+cos μ+cosν
Получаем 