Алгоритм вторичной обработки экспериментальных данных

Входными условиями для этапа вторичной обработки экспериментальных данных по МНК являются: |x|, |y|, N(•) по каждому опыту матрицы Y.

1) Определение коэффициентов регрессионного уравнения:

Пример:

Таблица 27

  X1 X2 X1X2 Yср
- - +
+ - -
- + -
+ + +
  b1 b2 b12  

 

b0 = 5, так как x0 → все «+»

Математическая модель:

Ответ:

 

2) Определение остаточной дисперсии (S2остаточн.), или дисперсии адекватности(S2ад.):

либо

q, N – количество замеров в первом опыте

l, k – количество коэффициентов регрессионного уравнения

Пример

Провели полный факторный эксперимент 23.

Число степеней свободы будет

3) Определение дисперсии коэффициентов регрессионного уравнения

4) Проверка значимости коэффициентов

Можно осуществлять двумя способами: проверкой по t-критерию Стьюдента или построением доверительного интервала. При использовании полного факторного эксперимента доверительные интервалы (в том числе и эффектов взаимодействия) равны друг другу.

Прежде всего надо найти дисперсию коэффициента регрессии . Она определяется по формуле

, если параллельные опыты отсутствуют.

Из формулы видно, что дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят от ошибки опыта и числа опытов.

Теперь построим доверительный интервал ( Δbj )

Здесь t – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы, с которыми определялась , и выбранном уровне значимости (обычно 0,05); - квадратичная ошибка коэффициента регрессии

Формулу для доверительного интервала можно записать в следующей эквивалентной форме:

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала. Доверительный интервал задается верхней и нижней границами и .

Для отыскания значения t–критерия можно воспользоваться таблицей, фрагмент из которой преведен в табл. 60.4.

Таблица построена следующим образом. Столбцы соответствуют различным степеням свободы и значениям критерия.

Пусть в двух различных случайно оказались два численно равных коэффициента регрессии. Доверительные интервалы для них оказались различными. Из них значим только второй

Таблица 28

Задача
5,3 ±5,5
5,3 ±2,6

Таблица 29

Число степеней свободы Значения t–критерия Число степеней свободы Значения t–критерия Число степеней свободы Значения t–критерия
12,71 2,201 2,080
4,303 2,179 2,074
3,182 2,160 2,069
2,776 2,145 2,064
2,571 2,131 2,060
2,447 2,120 2,056
2,365 2,110 2,052
2,306 2,101 2,048
2,262 2,093 2,045
2,228 2,086 2,042
        ∞ 1,960

В действительности чем уже доверительный интервал (при заданном α), тем с большей уверенностью можно говорить о значимости коэффициента.

Рабочее правило: если абсолютная величина коэффициента больше, чем доверительный интервал, то коэффициент значим. Если больше нравится проверять значимость коэффициента по t–критерию, то воспользуйтесь формулой

Вычисленное значение t–критерия сравнивается с табличным при при заданном α и соответствующем числе степеней свободы. Полученные выводы о значимости коэффициентов должны совпадать с предыдущими.

Так производится проверка значимости коэффициентов.

Н0:

 

Н0 (гипотеза): Если значение коэффициента регрессионного уравнения удовлетворяет неравенству, то коэффициент регрессии считается статически незначимым на заданном уравнении вероятности и может быть изъят из уравнения регрессии.

Для математической модели, полученной по ортогональным планам, при выбросе незначимых коэффициентов остальные не пересчитываются.

5) Оценка адекватности регрессионной модели:

Yср. по плану – среднее значение выходного параметра по строкам и столбцам (т.е. со всеми повторами).

Если гипотеза удовлетворяется, то считается, что регрессионное уравнение адекватно, т.е. соответствует экспериментальным значениям и описывает функцию y = f(x) достаточно достоверно на заданном уровне вероятности p.