Властивості криволінійного інтеграла І роду
Криволінійні інтеграли.
Криволінійні інтеграли І роду
Криволінійні інтеграли І роду,
їх властивості та методи обчислення.
Задача, що приводить до поняття криволінійного інтеграла І роду – задача про масу дуги кривої неоднорідної щільності.
| Нехай на площині хОу задана кусково гладка крива АВ. У кожній її точці визначена та неперервна функція  . Якщо висунути вимогу, що функція  набуває тільки невід’ємних значень, тоді її можна інтерпретувати як
|
| Рис. 1 |
функцію щільності (густини) кривої.
Поставимо задачу обчислення маси дуги кривої АВ.
Розіб’ємо дугу АВ на n частин точками:
.
Довжину кожної ділянки розбиття позначимо 
.
Тепер на кожній ділянці розбиття випадковим чином оберемо точки 
. Щільність кожної ділянки розбиття будемо вважати сталою величиною і рівною щільності у точці 
: 
. Тоді маса кожної ділянки розбиття наближено буде дорівнювати:
,
а маса всієї кривої буде дорівнювати:
 .
| (1) |
Сума (1) є інтегральною для функції . Якщо кількість точок розбиття прямує до нескінченності: 
, а максимальна довжина ділянки розбиття 
, тоді інтегральна сума (1) має скінченну границю, яку називають криволінійним інтегралом першого роду і позначають так :
 .
| (2) |
Можливі позначення криволінійного інтегралу І роду: 
та інші.
Зауваження. Якщо інтегрування відбувається по замкненому контуру, тоді криволінійного інтегралу І роду позначають 
.
Теорема про існування криволінійного інтегралу І роду. Якщо функція неперервна у кожній точці кусково гладкої кривої АВ, тоді криволінійний інтеграл І роду від функції по кривій АВ існує. Його значення (тобто значення границі (2)) не залежить ні від способу розбиття кривої АВ на ділянки, ні від способу вибору на них точок .
Зауваження. Фізичний зміст криволінійного інтеграла І роду полягає у тому, що його значення відповідає масі дуги кривої, по якій відбувається інтегрування, якщо під інтегральну функцію розглядати як щільність (густину) кривої.
| Геометричний зміст криволінійного інтеграла І роду полягає у тому, що його значення відповідає площі циліндричної поверхні, напрямна якої збігається з кривою АВ, а твірні паралельні Оz і мають довжину  .
|
| Рис. 2 |
Властивості криволінійного інтеграла І роду
1. Значення криволінійного інтегралу не залежить від напрямку обходу кривої, по якій виконується інтегрування:
 .
|
Зауваження. Це єдина властивість криволінійного інтеграла І роду, яка відрізняється властивостей визначеного інтеграла. Вона пояснюється тим, що множник у формулі інтегральної суми (2) визначає довжину ділянки розбиття дуги, тобто завжди є додатним.
2. Постійний множник можна виносити за знак криволінійного інтеграла:
 , де  .
|
3. Криволінійний інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі(різниці) інтегралів від кожної функції окремо:
 .
|
4. Якщо криву АВ розбито точкою С на дві дуги, тоді
 .
|
5. Якщо в усіх точках кривої АВ виконується нерівність
, тоді
 .
|
6. Криволінійний інтеграл І роду від одиниці дорівнює довжині дуги, по якій відбувається інтегрування:
 .
|
7. Теорема про середнє значення функції на дузі АВ. Якщо функція 
неперервна на дузі кривої АВ, то на цій дузі знайдеться така точка 
, що виконується рівність:
 .
|